ALFRED TARSKI:
BIZONYÍTÁS ÉS IGAZSÁG

(Gondolat, 1990). 378. oldaltól:
Két elv keletkezett, amelyeket azután a matematikai diszciplínák fölépítésére rendszeresen alkalmaztak. Az elsõ elv szerint minden tudományág kevés számú mondat felsorolásával kezdõdik, ezeket axiómáknak vagy alaptételeknek mondjuk, a szemlélet számára evidensek, és minden további megalapozás nélkül igaznak fogadjuk el õket. A második elv szerint a tudományág bármely más állítása csak akkor fogadható el igaznak, ha bizonyítani tudjuk kizárólag az axiómák vagy már elõbb bizonyított tételek segítségével. Ennek tükrében a bizonyítás olyan eljárás, amelyben a bizonyítandó mondatot megengedett formális lépések segítségével véges lépésben visszavezetjük az axiómákra, vagy már elõzõleg bizonyított mondatokra.
Az NPD szisztémában a nem-mondatok felelnek meg az axiómáknak. Ha X nem D-vel kezdõdik, és nem mondat, akkor printelhetõ (bizonyítható). De printelhetõ a PX, PPX, PPPX, … mondat is, mert véges lépésben eljutunk a printelhetõ X szóig (axiómáig). Cáfolható mondatok: NPX, NPPX, NPPPX, ill. NNNPX, stb.
Az igazság definiálásánál abból indulunk ki, hogy minden bizonyítható mondat igaz, és minden cáfolható mondat hamis. Tarski ezután azzal folytatja, hogy megkülönbözteti a tárgynyelvet és a metanyelvet. A tárgynyelvvel írjuk le az aritmetikát, és a metanyelvvel írjuk le azokat a mondatokat, amelyek magukra az állításokra vonatkoznak. A bizonyíthatóság lefordítható a metanyelvrõl a tárgynyelvre (azaz a bizonyítható mondatok Gödel-számai megadhatók formulával), de az igazság fogalmához nem létezik ilyen fordítás. Már ez mutatja, hogy az igazság több, mint a bizonyíthatóság. Van mondat, mely igaz, de nem bizonyítható. A hazug antinómiája (vagyis "ez a mondat hamis" se nem igaz, se nem hamis) elsõként úgy lépett föl érvelésünkben, mint hatalmas rombolóerejû, gonosz szellem. A védekezés módja a tárgynyelv és a metanyelv megkülönböztetése volt. Ezt viszont én úgy nevezem: A Matematika Eredendõ Kasztrálása! Hiszen ez nem más, mint a KVAX kiküszöbölésére tett kísérlet!
Az igazság definíciója két lépésben: 1. A bizonyítható mondatok igazak, a cáfolható mondatok hamisak. 2. Egy mondat akkor igaz, ha az a feltevés, miszerint a mondat hamis, ellentmondásra vezet. Példa rá az NPDNPD. Ha ez hamis, akkor PDNPD igaz, tehát NPD Duplája, NPDNPD printelhetõ (bizonyítható). Nade NPDNPD hamis, hamis állítás pedig nem bizonyítható! Itt az ellentmondás! Tehát NPDNPD csakis igaz lehet, így állítása szerint nem is bizonyítható. Tehát az igazság bõvebb mint a bizonyíthatóság.
Kérdés: mi az, ami még az igazságnál is bõvebb? Szuperigazság? Erre még visszatérünk. Egy igazság ellentéte egy hazugság, de egy nagy igazság ellentéte egy másik nagy igazság, mondta Niels Bohr. Mért ne legyen ez a kiinduló axiómánk?