SZUPERIGAZSÁGOK,
AVAGY A FELE SEM IGAZ!

Térjünk vissza a már unásig ismert NPD világunkhoz, és folytassuk a feltérképezését!
A PDPDN egy végtelen lánchoz vezet. A PDPD és az NPDNPD viszont olyan mondatok, amelyek önmagukra hivatkoznak, ezért a véges hurkok elemi példáinak tekintendõk.

Mint láttuk, egy mondat elsõrendben eldönthetõ (bizonyítható vagy cáfolható), ha õ maga axióma (olyan kifejezés, ami nem mondat), (erre példa az N, P, D egybetûs szavak, továbbá DX, ahol X tetszõleges, valamint az NX, ahol X nem mondat), vagy belõle véges lépésben le lehet vezetni egy axiómát (erre példa az XY, ahol X N és P-bõl áll, P-re végzõdik, és Y nem mondat, valamint minden olyan szó, melyben ND vagy DD betûpár van). Másodrendben eldönthetõ (igaz vagy hamis), ha az egyik logikai érték feltételezésébõl le lehet vezetni egy ellentmondást (pl. hamis mondat bizonyítható).
Erre példa az NPDNPD, vagy az NNNPDNNNPD. Mindketõ igaz, mert ha hamis lenne, akkor hamis mondat bizonyítható lenne. Most megismerkedünk a harmadrendben eldönthetõ mondatokkal, amiket szuperigaznak nevezek. Legyen a szavunk ez: XPDXPD

X tetszõleges, üres is lehet. Állítás: ez a szó véges ciklust generál. Bizonyítás helyett bemutatom, hogy mûködik ez. Legyen X=PPNP, és a szó A=PPNPPDPPNPPD ! Az A-ból levezethetõ a B=PNPPDPPNPPD, ebbõl a C=NPPDPPNPPD, ebbõl az E=PDPPNPPD, ebbõl pedig a PPNPPDPPNPPD, ami maga az A! Tehát a kör bezárult. A szavak mondatok, és ezt mondják: A=PB, B=PC, C=NPE, E=PA. Mind a négy lehet igaz, vagy hamis, ám bizonyos kombinációk nem valósulhatnak meg. Elemezzünk egy egyszerûbbet:
A=PB, B=PC, C=NPA. ( A=PPNPDPPNPD, B=PNPDPPNPD, C=NPDPPNPD).
Lehet mindhárom igaz, az nem baj hogy emellett az A nem printelhetõ. Nem lehet viszont az A igaz, ugyanakkor a B hamis, mert ekkor a hamis B printelhetõ lenne. Ha az A hamis, akkor C igaz, B pedig lehet igaz és hamis is. C pedig nem lehet hamis, mert akkor A printelhetõ, tehát igaz, akkor B is printelhetõ, tehát igaz, akkor C is printelhetõ a B szerint, és ez ellentmondás! A 3 logikai értéknek 8 kombinációja van, és ebbõl csak 3 valósulhat meg, az i i i, a h i i, és a h h i. Tehát ahogy a címben jeleztük: a fele sem igaz!

(i = igaz, h = hamis). A C tehát másodrendben eldönthetõ: csak igaz lehet. De mi az A és a B? Nos, ezeket nevezem én szuperigaznak, mert egy véges ciklus elemei, és mind a két logikai értéket felvehetik. Tehát harmadrendben eldönthetõ a szó, ha véges ciklust generál, és mind a két logikai értéket ellentmondás nélkül felveheti. Látjuk, hogy a szuperigazságok már feltételes, egymástól függõ, csatolt igazságok, mert ha A igaz, akkor B csak igaz lehet. Igaz az elõrejelzett tulajdonság is: egy szuperigazság ellentéte egy másik szuperigazság! Ha A mindkét logikai értéket felveheti, akkor ugyanilyen a Nem A is! Ez is felveheti mindkét logikai értéket, csak fordított sorrendben, ami itt nem számít. Így minden olyan szó, amely XY alakú, és X N-bõl és P-bõl áll, Y pedig harmadrendben eldönthetõ szó, XY is harmadrendben eldönthetõ szó lesz! Ezzel lényegében definiáltuk a szuperigaz szavakat. Az NPD világunk tehát így épül fel: Vannak az axiómák, amik bizonyíthatók. Vannak a bizonyítható szavak, amik igazak, és a cáfolható szavak amik hamisak. Ám nem minden igaz szó bizonyítható, és nem minden hamis cáfolható. Tehát vannak az igaz és a hamis mondatok. És a buli itt sem ér véget, mert vannak a harmadrendben eldönthetõ véges ciklusok is! Ezek lehetnek igazak és hamisak is, tehát nem tartoznak se az igaz, se a hamis mondatok halmazába. Lám, a rókánkról le tudtunk húzni még egy bõrt! Akkor viszont nem igaz a kizárt harmadik elve! Tercier datur?