Sorozatok, Sorok

Sorozat = számokból alkotott rendezett halmaz. A számok lehetnek egész számok, törtszámok, valós számok vagy komplex számok, esetleg valami absztrakt algebra elemei. A klasszikus matematika kétféle sorozatot különböztet meg: konvergens és divergens sorozatokat. Konvergens a sorozat akkor, ha az egyre nagyobb indexû tagok egy bizonyos számtól egyre kevésbé térnek el. Ezt a bizonyos számot a sorozat határértékének nevezzük. Ha ilyen szám nincs, a sorozatot divergensnek mondjuk.

Példák konvergens sorozatra: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ... tart nullához.
1/2, 3/4, 7/8, 15/16, ... tart 1-hez. 0, 0, 0, 0, ... tart nullához.
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159 ... tart píhez.

Példák divergens sorozatra: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... tart végtelenhez.
1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, ... egyszerre tart +végtelenhez és -végtelenhez.
0, 1, 0, 1, 0, 1, ... ez két érték közt oszcillál.
1, 1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, 1/16, 3/16, 5/16, 7/16, 9/16, 11/16, 13/16,15/16, 1/32, 3/32, ... ez nulla és egy közt sétál ide-oda.

A végtelen sorokhoz úgy jutunk, hogy egy sorozat tagjait összeadjuk. Ilyen pl. az 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ...
Minden irracionális számot meg tudunk adni végtelen sorként,

pl. pí = 3 + 0.1 + 0.04 +0.001 + 0.0005 + 0.00009 + 0.000002 + 0.0000006 .....

A végtelen sor is lehet konvergens vagy divergens. Ezt úgy döntjük el, hogy képezzük a részletösszegek sorozatát, ez pl. 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5,... és ha ez a sorozat konvergens, akkor a sor is konvergens, egyébként divergens.
Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor a határértékét a sor összegének nevezzük.
Pl. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 ... = 1 . 
Ennek részletösszegei: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16,... és ez tart 1-hez, mint fentebb láttuk.
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 ...= végtelen, ez a sor tehát divergens.
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 ... = pínégyzet/6 .
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ... = ln 2 .
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 ... = pí/4 .

A Kvadromatika felfedezte a végtelen soroknak két új típusát:
a transzvergens sorokat és a szupratranszvergens sorokat. Klasszikusan mindkettõ divergens. Sok matematikus foglalkozott azzal hogy divergens sorokhoz is rendeljen összeget. Erre pl. a Fourier-soroknál van szükség, ahol van olyan függvény, amelynek Fourier-sora mindenütt divergens, valahogy mégis szeretnénk kiértékelni.
Ennek egy módja az, hogy a részletösszegek sorozata helyett a részletösszegekbõl képezett átlagokat számoljuk ki: Ha a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅... a sor és s₁ + s₂ + s₃ + s₄ + s₅... a részletösszegek sorozata, akkor képezzük a szigma n = (s₁ + s₂ + s₃ + s₄ + . . . + s_n)/n sorozatot.
A szigma-sorozat lehet konvergens akkor is, amikor a részletösszegek sorozata divergens. Persze ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor a szigma-sorozat is az, és határértéke megegyezik az elõbbiével. Ez a permanencia, vagyis az átlagolás nem rontja el a konvergens sorok összegét, de összegezhetõvé tesz bizonyos divergens sorokat is.
Vannak olyan divergens sorok, melyek csak 2, 3, ... n átlagolás után válnak konvergenssé. És vannak olyanok is, amelyek sehány átlagolás után se válnak azzá.
Ezen segít a transzvergencia. A transzvergencia nem más, mint egy zárt alakban megadható összegformula kiterjesztése arra a tartományra, ahol a sor divergens, de a formula mégis értelmes eredményt ad. Ilyen pl. a geometriai (mértani) sor. Ez az 1+q+q ²+q ³ +q ⁴ ...sor, melynek összegképlete 1/(1-q) . Ez csak abs(q) < 1 esetén konvergens. Ha q = 1, akkor a formula 1/0 -t ad, ami értelmetlen, a sor pedig így néz ki: 1+1+1+1+1+1...
Ha q = -1, akkor a formula 1/2 -t ad, a sor pedig 1-1+1-1+1-1+1-... aminek a részletösszegei: 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... ennél képezhetjük az átlagok sorozatát, és az 1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, 3/6, ... ez pedig 1/2 -hez tart. Tehát az átlagolás és a formula ugyanazt adja. Vagyis a transzvergens sorban is van konstancia, állandóság. Nem szeszélyesen hol ez, hol az az összeg, a választott eljárástól függõen.

Ugyanakkor ez a sor érzékeny a zárójelezésre:
(1-1)+(1-1)+(1-1)... = 0+0+0+0 .. =0, de 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)... = 1-0-0-0-0... = 1.
Az 1+2+4+8+16+32... mértani sor összegére a formula 1/(1-2) = -1 -et ad. Ezt a sort nem lehet átlagolással kiszámolni. Viszont ez már nem érzékeny a zárójelezésre:
(1+2)+(4+8)+(16+32)+(64+128)... = 3+12+48+192... = 3.(1+4+16+64...) = 3.1/(1-4) = = 3/(-3) = -1 . Az eredmény tehát nem függ a zárójelezéstõl.

Irjuk fel pl. az 1+x hatványait Pascal-háromszög alakban:

 1 
1 x
 1 2x x² 
 1 3x 3x² x³ 
 1 4x 6x² 4x³ x⁴  
1 5x 10x² 10x³ 5x⁴ x⁵ 

Ezt összeadhatjuk így: 1+(1+x)+(1+x)²+(1+x)³... = 1/(1-(1+x)) = -1/x .
Összeadhatjuk a jobbra lefelé menõ vonalak mentén:
(1+x+x²+x³+x⁴...)+(1+2x+3x²+4x³...)+(1+3x+6x²+10x³...)+... = 1/(1-x)+1/(1-x)²+1/(1-x)³+1/(1-x)⁴...=
= 1/(1-x)/(1-1/(1-x)) == 1/(1-x-1) = -1/x.

Ugyanaz jött tehát ki. A legérdekesebb összeadási mód viszont az, ha a balra lefelé menõ vonalak mentén  adunk össze! Ekkor ezt látjuk:
(1+1+1+1...)+(x+2x+3x+4x...)+(x²+3x²+6x²+10x²...)+... = (1+1+1+1...)+(1+2+3+4..)x+(1+3+6+10..)x²+(1+4+10+20..)x³...
és itt most a zárójelekben csupa olyan sor áll, amit se klasszikusan, se átlagolva, se transzvergensen nem tudunk kiértékelni! Na ilyenkor mi a teendõ? Nos, ezeket nevezem én szupratranszvergens soroknak!
Jelöljük õket így: y₀ = 1, y₁ = (1+1+1+1..), y₂ = (1+2+3+4..), y₃ = (1+3+6+10..), y₄ = (1+4+10+20..), stb.
Mit mondhatunk róluk? y₁ = 1/(1-1) = 1/0, y₂ = 1/(1-1) ² = 1/0 ² = 1/0, és hasonlóan y_n = 1/0 ⁿ =1/0.
A formulákkal tehát nem megyünk semmire, itt a transzvergens módszer is csõdöt mond. Viszont valamit még ezek is tudnak! Ezért nevezem õket szupratranszvergensnek. Legyen az Y ⁿ az Y jel szimbólikus hatványa:
(ez részletesebben a Bernoulli-számoknál van leírva) y_n = Y ⁿ. Ekkor az elõbbi sor így írható:

y₀ + y₁x+ y₂ x²+ y₃ x³+ y₄ x⁴... = 1/(1-xY), tehát y₁ + y₂ x+ y₃ x²+ y₄ x³+... = (1/(1-xY)-1)/x = -1/x.

Rendezve az egyenletet és x-szel egyszerûsítve 1/(1-xY) = 0 adódik. Elég érdekes eredmény. Más végtelen soroknál is elõjönnek ezek az Y-ok, és a végtelen darab Y-ból végül is értelmes eredmények születnek, ebben rejlik a konstanciájuk, az állandóságuk. y₀ = 1+1+1+1.. = 1+ y₀, ezt semmilyen számmal nem tudjuk  kielégíteni: az Y-okhoz nem rendelhetõ közönséges szám.
Ezekkel felírható az 1 / x Taylor - sora: 1 / x = 1 / (1 - (1 - x)) = 1 + (1 - x) + (1 - x) ² + . . . =
= (1 + 1 + 1 + 1. .) - (1 + 2 + 3 + 4. . ) x + (1 + 3 + 6 + 10. .) x² - (1 + 4 + 10 + 20 . . .) x³ =
= y₁ – y₂ x + y₃ x ² – y₄ x ³ + . . . = -(1/(1+Yx )-1)/x = 1/x .
 Az Y-okhoz hasonlóak a Z-k.  Z ⁿ = z _n = 1 ⁿ + 2 ⁿ + 3 ⁿ + . . . + k ⁿ + . . .
 A Z-k és az Y-ok összefüggenek:
z₀ = y₀ , z₁ = y₁ , z₂ = 2 y₂ – y₁ , z₃ = 6 y₃ - 6 y₂ + y₁ , z₄ = 24 y₄ - 36 y₃ + 14 y₂ – y₁ .
Ennek együtthatói az alábbi háromszögbe rendezhetõk:

 1 
 2 1 
 6 6 1 
 24 36 14 1 

Ennek a háromszögnek az elemei rekurzívan számolhatók. Hasonlóképpen fejezhetjük ki az Y-okat a Z-k segítségével. Az így nyert háromszögben már törtszámok szerepelnek.  
Láttuk, hogy y₁ = 1/(1-1) = 1/0, y₂ = 1/(1-1) ² = 1/0 ² , és hasonlóan y_n = 1/0 ⁿ . Ha az igazsághoz hûek akarunk maradni, kénytelenek vagyunk azt feltételezni hogy 1/0, 1/0 ² , . . . 1/0 ⁿ egymástól különbözõk, tehát akkor 0 ² és 0 sem ugyanaz!
Miben különböznek? Egy infinitezimálisan kicsiny tagban! Ha 1/0 tényleg a 0 reciptroka, akkor 0 . 1/0 = 1 kell legyen, és 0 .1/0 ² = 1/0 , valamint 0 . 1/0 ⁿ = 1/0 ^{n - 1} kell legyen. 1/0 ⁿ . 1/0 ^m = 1/0 ^{n + m}  és 0 ⁿ . 1/0 ^m = 0 ^{n - m} = 1/0 ^{m - n} . Na, ezek legalább értelmes szabályok, ahhoz képest hogy eddig az 1/0 -t értelmetlen kifejezésnek tartották. Ennek megfelelõen y _n . y _m = y _{n + m} , és 0 ⁿ . y _m = y _{m - n} . Ha m = n , akkor y0 = 1 az eredmény.
Ha pedig n nagyobb m - nél, akkor negatív indexû y -t kapunk, és az y _-k = 0 ^k módon értelmezendõ.
Vajon mik a negatív indexû Z -k? z _-1 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . . . . , z _-2 = 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + . . . . = p ² /6 , és hasonlóan, a -3 , -4 , -5 . . . indexû Z -k már mind véges számok.

Az Y-ok világa és az 1/x sora azonban egy finoman elbújtatott ellentmondást tartalmaz! Erre visszatérünk a Nemstandard válaszok címû fejezetben. Ott a nemstandard analízis eszközeivel mélyebben megalapozzuk ezt az 1/0 dolgot, és az ellentmondások eltûnnek.

 Ezzel befejezzük a szupratranszvergens birodalomban való bolyongásunkat.

Transzvergens és szupratranszvergens sorokkal minden ismert algebrai átalakítás elvégezhetõ. Addig kell gyúrni õket, míg valami ismert dolgot nem kapunk. Ez lehet valami függvény, pl. cos(1-2Px) , ahol P egy sor szimbóluma, vagy egy kiemelhetõ konstans, pl. e = 1+1/2+1/6 . . . vagy bármi más, amit tömör formában is fel tudunk írni. Ha elindulunk egy formulából és átkelünk a "kiszámíthatatlan egypernullák" mocsarán, újra értelmes tájakra juthatunk, és meglepõ, új összefüggések válnak ismertté.