Minket arra neveltek, hogy a végtelen olyan nagy, hogy végtelen+1 = végtelen, noha nincs olyan közönséges szám, amely azt tudná hogy x = x+1. El is nevezték a végtelent Alef nullnak, jele À₀ ,és ez olyan, hogy À₀ + À₀ = À₀, À₀ × À₀ = À₀és persze À₀+k=À₀ , À₀×k=À₀ , ahol k tetszõleges nullától különbözõ valós szám.
Most az Origó fórumon, a Fermionok topikban éppen ezekrõl folyik a vita. A klasszikus matekban az À₀ a természetes számok, az N számossága, és nála már csak a kontínuum (Z, À₁) számossága nagyobb. Definíció szerint À₁ = 2^À0, a természetes számok összes részhalmazainak a számossága, és egyúttal a valós számok számossága.  Cantor átlós módszerével belátható, hogy valós számból több van, mint természetes számból, tudniillik akárhogy adom meg valós számok egy felsorolását, abból mindig kimaradnak számok. Legyen egy ilyen felsorolás a következõ:

0.10110101101…      ez persze bináris törtként értelmezendõ. Képezzünk egy új számot
0.11010110101…      úgy, hogy a pirossal kiemelt átlós számok ellentétét képezzük, ellentét
0.01101011010…     = 1-x tehát 0 ellentéte 1, 1 ellentéte 0: így kapunk egy 0.00011…
0.00101101101…      számot , ami tuti hogy nincs a listán! Hiszen az elsõ számtól az elsõ
0.00010100101…     bitben különbözik, a második számtól a 2. bitben, a 3-iktól a 3-ikban, sít.

Tehát a piros szám nincs a listán, de ha járulékosan hozzácsapjuk a listához, tüstént konstruálható egy újabb szám, mely megintcsak kilóg… ez az eljárás emlékeztet a KVAX önteremtõ processzére, azzal teljesen analóg. Nos, Cantor így bizonyította be, hogy a valós számok többen vannak mint az egészek. Cantor híres sejtése az volt, hogy nincs À₀<X<À₁ számosság. De szerintem erre a nemstandard modell rácáfol, majd meglátjuk hogyan.

Láttuk a Leibniz és a monászok fejezetben, hogy vannak ún. nemstandard számok is. Ilyen az epszilon és az omega.e azzal van definiálva, hogy e+e+e+e+e… =1. Ezt egy mezei valós szám nem tudja, mert a akármilyen pici is, de nagyobb mint nulla, a+a+a+a…= ¥ .
1/e = w , ez meg így van definiálva: 1+1+1+1… = w . Klasszikusan tudjuk, hogy ez is ¥ .

Ráadásul 1+1+1+1… = 1+ (1+1+1+1…) , így ¥ = ¥ +1 . (Ez a SIÓ – módszer) .
Ennyiben ez a ¥ emlékeztet az À₀ -ra, ami nem is meglepõ, hisz ez is végtelen, az is végtelen. Az w azonban nem ilyen!
Ott  w + 1 ¹ w ! A nemstandard számokat, amiket én hipervalós számnak nevezek, Knuth pedig szürreális számoknak hív, Conway találta ki, és Knuth könyvében lehet olvasni róluk. (Számok valóson innen és túl, Gondolat 1987)

Ebbõl idézek most:

Kezdetben puszta vala minden, és J.H.W.H. Conway elkezde számokat teremteni. Mondá Conway: legyen két szabály, amely létrehozza az összes számot, kicsiket és nagyokat egyaránt. És az elsõ szabály ez legyen: Minden egyes szám feleljen meg elõzõleg megteremtett számok két halmazának olyképpen, hogy a bal felöli halmaz egyetlen eleme se legyen nagyobb vagy egyenlõ, mint a jobb felõli halmaz tetszõleges eleme. És a második szabály ez legyen: Valamely szám akkor és csak akkor neveztessék kisebb vagy egyenlõnek valamely másik számnál, ha az elsõ szám bal felõli halmazának egyetlen eleme sem nagyobb vagy egyenlõ a második számnál, és a második szám jobb felõli halmazának egyetlen eleme sem kisebb vagy egyenlõ az elsõ számnál. És megvizsgálá Conway a két szabályt, amit alkotott vala, és ímé igen jók valának.

És megteremté az elsõ számot az üres bal felõli halmazból és az üres jobb felõli halmazból. Nevezé Conway ezt a számot „nullának”, és mondá: ez legyen a jel, amely elválasztja a pozitív számokat a negatív számoktól. Bebizonyítá Conway, hogy nulla kisebb vagy egyenlõ nullánál, és látá hogy ez jó. És lõn este, és lõn reggel, a nulla napja. A következõ napon két további számot teremte, az egyiket a nullával mint bal felõli halmazzal, és a másikat a nullával mint jobb felõli halmazzal. És nevezé Conway az elõzõ számot „egynek”, és az utóbbit „mínusz egynek”. És belátá, hogy mínusz egy kisebb, de nem egyenlõ nullánál, és nulla kisebb, de nem egyenlõ eggyel. És lõn este….

Itt néhány kiegészítõ megjegyzés:
Conway raffináltan fogalmaz: „egyetlen elem se legyen nagyobb vagy egyenlõ”. Ezt egyszerûbben így mondhatnám: minden eleme kisebb! De Conway megfogalmazása lehetõvé teszi a semmibõl való teremtést! Mert ha a halmaz üres, akkor nincs egy eleme sem, arra pedig igaz hogy „egyetlen elem se nagyobb vagy egyenlõ”! Conway jelölése a számokra: < A : B > ahol A a bal felõli halmaz, B a jobb felõli halmaz. A nulla a < : > halmaz lesz, ahol mindkét halmaz üres. Az egy a < 0 : > , a mínusz egy pedig a < : 0 > szám lesz. Az n-ik napon 2ⁿ darab új szám lesz teremtve, de ezek nem mind különbözõk. Pontosan ez idegesített engem a Knuth-konstrukcióban, hogy ott a számok reprezentációja nem egyértelmû. Olyan ez, mintha a 231034 szám, a 487601 szám és a 892104 szám ugyanazt a számot jelölné, és bonyolult szabállyal lehetne csak kitalálni, mikor egyenlõ két szám! Hogy melyik szám mennyi, az a szabályok folytatásából derül ki:

… nap. És mondá Conway: „A számok pedig adódjanak össze olyképpen, hogy két szám összegének bal felõli halmaza legyen mindkét szám összes bal felõli részeinek összege egymással. És ennek hasonlatosságára a jobb felõli halmaz pedig légyen a jobb felõli részekbõl, az õ nemük szerint.” Conway megmutatá, hogy egyetlen szám sem változik, ha nullát ad hozzá, és látá, hogy az összeadás jó. És lõn este, és lõn reggel, a harmadik nap.

És mondá Conway: „A szám ellentettjének halmazai legyenekaz õ váltott halmazainak ellentettjei; és a kivonás legyen az ellentett hozzáadása.” És úgy lõn. Conway megmutatá, hogy a kivonás az összeadás inverze, és ez nagyon jó. És lõn este, és lõn reggel, a negyedik nap. És mondá Conway a számoknak: „Legyetek termékenyek, és sokasodjatok. Szoroztassék meg az elsõ szám valamely része a másodikkal, majd adassék hozzá hozzá az elsõ szám szorzata a második valamely részével, annak utána vonassék ki a részek szorzata, s végeztessék el mindez az összes lehetséges módon. Legyen az eredmény a bal felõli halmaz eleme, ha a részek azonos nemûek valának, és tartozzék a jobb felõli halmazhoz, ha a részek neme különbözõ vala.” Conway megmutatá, hogy eggyel szorozva minden szám változatlan marad. És lõn este, és lõn reggel, ötödik nap.

És íme! Mikor már végtelen sok napja teremté a számokat, elõjöve maga az Univerzum.

És lõn este, és lõn reggel, az À nap. És végigtekinte Conway a számokhoz rendelt szabályokon, és látá hogy igen nagyon jók. És parancsolá nékik, hogy hozzanak létre szimbólumokat, sorozatokat, hányadosokat és gyököket.

Ezután egyszer csak létrejött a végtelennél kisebb végtelen. És a napok végtelenjei megszülék a töbszörös végtelenek rendjeit…

( … ekkor végre kifogyott Conway benzinesüvege… 89.2.20 )

Nos, az összeadási és szorzási szabály ismeretében kiderül, mely számok teremtõdnek az egyes napokon! A 0. napon a 0, az 1. napon az 1 és –1, a 2. napon a –2, -1/2, 1/2 és 2. a 3. napon a –3, -3/2, -3/4, -1/4, 1/4, 3/4, 3/2 és 3 , és így tovább, mindig a két szélén és a számok közt pont középen születnek új számok. Ez egy nagyon jó felsorolását adja a BIN számoknak! ( 2 hatvány nevezõjû törtek) Ez így nem tûnik túl izgalmasnak, ahhoz képest hogy milyen bonyolult és nyakatekert szabályokkal jutottunk el idáig! Hol jön elõ az 1/3, a Ö 2, az e, a p és a többi valós szám? Természetesen a végtelenedik napon, amikor „elõjöve az Univerzum”. No és most jön a vicc: a teremtés EKKOR SEM ÁLL LE! Sõt, Conway csak ekkor kapcsol igazán bele! „Megszületnek a többszörös végtelenek rendjei” !

Kezdjük mindjárt a legegyszerûbbel: mi <1,2,3,4… : > ? Ez nem más, mint maga a végtelen! De nevezzük szimplán w-nak!   w+1 = <1,2,3,4…,w : >   és  w + 1 ¹ w !
w+2 = <1,2,3,4…,w, w+1 : >   és  w + 2 ¹ w+1 !  !  
w+1/2 = <1,2,3,4…,w : w+1>  .
w+w = <w+1, w+2, w+3, w+4… : > = 2 w !   
w² = < w, 2w, 3w, 4w … : > .
w ^w = < w, w ² , w ³ , w ⁴ … : > . aztán jön ugye az omega az omega az omegaadikon, stb.

A végtelen fele: w/2 = < 1, 2, 3, 4, … : w-1, w-2, w-3, w-4 …> .    e = < : 1, 1/2, 1/3, 1/4, …>
e +1= <1 : 1+1/2, 1+1/3, 1+1/4, …> , e × w =1.  Öw = < 1, 2, 3, 4, … : w/1, w/2, w/3, w/4 …>
Öe = < e, 2e, 3e, 4e…: 1, 1/2, 1/3, 1/4, …> . Na ennyit példaként.

Most jön Conway másik nagy furcsasága, a pszeudoszámok! ( Igazság szerint én arra gondoltam, hogy a komplex számoknak kellene következni, és lehet hogy a pszeudo-számok azonosíthatók a komplex számokkal? Találjuk meg pl. a Ö-1 –et! Vagyis az i-t! )

Tehát a pszeudoszám: n = < A : B > , de most nem kötjük ki hogy A < B

(azaz A < B jelentse ezt: a ÎA, b ÎB: a < b )

Ilyen pszeudoszám pl. az   < 1 : 0 > , 1 ugyebár nem kisebb, mint 0.

Na most < 1 : 0 > kisebb mint y ha y nagyobb, mint 1 és < 1 : 0 > nagyobb mint z, ha z kisebb mint 0.  Viszont < 1 : 0 > nem hasonlítható össze semelyik számmal, amely 0 és 1 közé esik! Na íme a hess-szám, amit 85-ben konstruáltunk! Ugyanis azt mondtuk, hogy van két reláció, a < és a # . 4 eset lehetséges: a<b,  a=b,  b<a és a#b. Ez egy kauzális fénykúpot definiál. Ha a<b vagy b<a, akkor (a,b) egy idõszerû intervallumot definiál, ha pedig a#b, akkor (a,b) egy térszerû intervallumot definiál. Errõl majd még írok.

 

Most pedig néhány szó a nemstandard analízisrõl:

Könyvek:

(1) Reuben Hersh: a matematika természete, Typotex 2000, drapp borító szép gömbi poliéderrel a címlapon.

(2) Davis-Hersh: A matematika élménye, szintén drapp, egy régi fametszettel, Mûszaki könyvkiadó 1984. Szóval ez már jó régi.

Nos, (2) 255-270 oldalon ír a nemstandard analról. Elsõként Thoralf A. Skolem norvég matematikus fedezte fel, hogy a számolás axiómáinak vannak nemstandard modelljei is, amelyek a szokásos aritmetikában nem használatos, különös objektumokat is tartalmaznak. Tehát tessék figyelni, az axiómákat nem kell bõvíteni! Abraham Robinson dolgozta ki a nemstandard analt. Robinson helyezte egzakt alapokra azt, amit Leibnizék mûveltek. Sõt hát már Archimédész is használta az infinitezimálisokat!

A véges valós számokat nevezzük standard univerzumnak, és M-mel jelöljük. Az ezekre vonatkozó összes állítás halmazát K-val jelöljük. Azt mondjuk hogy M egy modell a K-ra. A lényeg az, hogy a standard M-en kívül léteznek nemstandard modellek is K-ra! Nevezzük ezt M*-nak. K minden olyan mondata, amely igaz M-re igaz, M*-ra is!

M*-ba beágyazható M, így M* az M egy nemstandard kiterjesztése. Így a valós számok elemei M*-nak, de ezen felül még bizonyos omega, epszilon… elemek is vannak, és természetesen ezek szorzatai, összegei is! Így van 5 ×epszilon, pí ×epszilon, epszilonnégyzet, négyzetgyök epszilon, 1/epszilon=omega, stb.

Malcev és Henkin kompaktsági tételébõl következik az infinitezimálisok létezése, ti. az alábbi végtelen sok állításnak egyszerre eleget tevõ objektumok:

e kisebb 1/2 , e kisebb 1/4, e kisebb 1/8 , stb. Létezik végtelen nagy is:
:   w > 1, w > 2, w > 4 , w > 8 … stb. A nemstandard számnak van standard része, ami egy valós szám.

Egy valós szám és a tõle infinitezimálisan közeli számok együtt egy monászt alkotnak. Egy végtelen nagy szám plussz az összes valós együtt egy galaxist alkot. Most már érthetõ, hogy a pont nem a semmi, sõt nagyon is gazdag szerkezete van!

Na ennyi bevezetõ után jöjjön az (1+e) ^w  !  Használjuk a Newton-féle kifejtési tételt!

(1+e) ^w = 1 + we + w(w-1)/2! e ² + w(w-1)(w-2)/3! e³ + w(w-1)(w-2)(w-3)/4! e⁴ + …

Na most w×e = 1, és w ^m  × e ⁿ = e ^(n-m) , ezekkel

(1+e) ^w = (1 + 1 +1/2! + 1/3! +…) – e ( 1/2! + (1+2)/3! + (1+2+3)/4! +…) +
+ e² ( 1×2/3! + (1×2+1×3+2×3)/4! + …) – e³ ( 1×2×3/4! + (1×2×3+1×2×4+1×3×4+2×3×4)/5! + … ) - …
ebbõl meg ez lesz: minden tagból ki lehet emelni   e - t   (2.718281828…)
(1+e) ^w = e ×( 1 – 1/2× e + 11/24 × e ²– 7/16 × e ³ + 2447/5760 × e ⁴ – 959/2304 × e ⁵ + … )
ennek a standard része  e , a nemstandard része viszont valami cifra!
Mi legyen x, hogy (1+x) ^w = e legyen egész pontosan?  
Nos,  x=e ^e–1 !
(1+( e ^e –1 )) ^w = e ^{e w} = e¹ = e .        Gyönyörû!
e ^e –1 = 1+e+ e² /2!+ e³/3!… - 1 = e+ e² /2!+ e³/3! + …   ennek standard része nulla!

Most jöjjön néhány ismert formula kritikai elemzése:

Ha emlékszünk még a Sorozatok részbõl a Pascal-háromszög összeadására, ott
(1+x+x²+x³+x⁴...)+(1+2x+3x²+4x³...)+(1+3x+6x²+10x³...)+... =
= 1/(1-x)+1/(1-x)²+1/(1-x)³+1/(1-x)⁴...= 1/(1-x) × 1/(1-1/(1-x)) = 1/(1-x-1) = - 1/x volt.

Na most ezzel akkor van baj, ha x=1-et helyettesítünk be. Formálisan úgy oldottuk meg, hogy bevezettük az y₀ = 1,
y₁ = (1++1+1..), y₂ = (1+2+3+4..), y₃ = (1+3+6+10..),
y₄ = (1+4+10+20..), stb jelekt, és azonosítottuk õket az 1/0-kkal: y₁ = 1/(1-1) = 1/0,
y₂ = 1/(1-1) ² = 1/0 ², és hasonlóan y_n = 1/0 ⁿ. Mint láttuk, 1/0 különbözik 1/0 ²-tõl.

Az ellentmondás akkor jön elõ, amikor a formulákat a nemstandard analízis eszközeivel értékeljük ki.

Ha csak 1-tõl n-ig adunk össze, 1+1+1+1…=n ×(n+1)/2. A nemstandard eredményt úgy kapjuk meg, hogy formálisan n=w-t helyettesítünk be: ekkor 1+1+1+1 … = w×(w+1)/2! lesz! Hasonlóan, 1+2+3+4+… = n ×(n+1) ×(n+2)/3! ,  az n=w helyettesítéssel ebbõl  w×(w+1)×(w+2)/3! lesz. No és hol az ellentmondás? Ott, hogy egyrészt(1+2+3+4..) = y₂ =  y₁ ² , másrészt y₁ = w  tehát y₁ ² = w ² ,nem pedig w×(w+1)/2!  !!
Az ellentmondás nyilvánvaló és ordító. Most vagy hibás a levezetés amit nem hiszek, vagy le kell mondani a nemstandard analról, amire meg nem vagyok hajlandó, vagy újra kell gondolni a formulákat. Pontosan ezt fogjuk tenni! Mert hogy is kaptuk a formuláinkat? A geometriai sor összegképletébõl!

1+x+x²+x³+x⁴ + … = 1/(1-x) , hiába na, ezt szoktuk meg, no meg persze azt a kikötést, hogy
ú xú < 1 kell legyen!
Miért van ez a kikötés? Azért, mert ha csak n tagig összegzek, a formula így néz ki:
: 1+x+x²+x³+x⁴ + …+ xⁿ  = (xⁿ⁺¹-1)/(x-1) .  Ahha! Hát itt van a kutya elásva!
Ha most ú xú < 1 , akkor a számlálóban xⁿ⁺¹  tart nullához, így marad az 1/(1-x) .
Ha viszont mi x=1-et helyettesítünk, ez nem igaz, mert 1ⁿ⁺¹  = 1, akármilyen nagy is n, így még 1 ^w  = 1  is igaz !
Helytelen tehát az 1+1+1+1+… = 1/(1-1) = 1/0 , valójában 1+1+1+1+… = (1-1)/(1-1) = 0/0 !! És ez ég és föld különbség! Mert míg az 1/0 klasszikusan kezelhetetlen és szalonképtelen, addig a 0/0 igenis kezelhetõ, egy nagyon szép módszer van erre, és ez a L’Hospital szabály!

Tehát az ellentmondás onnan adódott, hogy kritikátlanul alkalmaztuk az
1+x+x²+x³+x⁴ + +… = 1/(1-x) szabályt.
1+2x+3x²+4x³+5x⁴ + … = 1/(1-x)²  , az elõbbi kifejezés négyzete, és ha az elsõ összeg w, akkor a második összeg w² , a nemstandard anal viszont erre az w×(w+1)/2! választ adja. Márpedig nyilván nem lehet egyszerre w²   is meg w×(w+1)/2! is, az egyik nyilvánvalóan hamis! Az idegesebb természetû matematikusok ezért is vetették el a nemstandard dolgokkal való foglalkozást. Holott a dolgok kissé mélyebb átgondolása célra vezet!

Node térjünk vissza a L’Hospital szabályra, és számoljuk ki vele, mi valójában 1+2+3+…! Ehhez kiszámoljuk1+2x+3x²+4x³+5x⁴ + …-t véges sok tagra, és utána azt írjuk át nem-standard formára a formális n=w helyettesítéssel !

1+2x+3x²+4x³+5x⁴ + …+(n+1) xⁿ = (1+x+x²+x³+x⁴ + …+ xⁿ )’ ahol a ’ deriválást jelent.
(1+x+x²+x³+x⁴ + …+ xⁿ )’ = (xⁿ⁺¹-1)/(x-1) ’ = ((n+1) xⁿ(x-1) – (xⁿ⁺¹-1))/ (x-1)² =
= (n xⁿ⁺¹ – (n+1) xⁿ +1)/ (x-1)²  , és  ez  az x=1  helyen   0/0-t  ad.

Most alkalmazzuk a L’Hospital szabályt, mely szerint ha f(x)=g(x)=0 akkor

f(x)/g(x) = f’(x)/g’(x) : (n xⁿ⁺¹ – (n+1) xⁿ +1)/ (x-1)²  ú _x=1  = (n(n+1) xⁿ – (n+1)n x^n-1 )/2(x-1)
és ez az x=1 helyen megintcsak 0/0-t ad, tehát mégegyszer alkalmazzuk a L’Hospitalt:

(n(n+1) xⁿ – (n+1)n x^n-1 )/2(x-1) ú _x=1  = (n(n+1)n x^n-1 – (n+1)n(n-1) x^n-2 )/2 =
= n(n+1)/2 ×( n x^n-1– (n-1) x^n-2 ) ú _x=1   és a zárójeles rész értéke x=1-nél 1 !
tehát a végeredmény n(n+1)/2 lesz, és ebbe formálisan n=w-t helyettesítve w×(w+1)/2!  lesz a helyes végeredmény. A magasabb indexû tagok hasonlóan adódnak, csak több számolással.

Most pedig megmutatom, hol csalnak a matematikusok akarva – akaratlan!

Mert tessék csak megfigyelni, mit is írunk? 1+2+3+…! Kimondom betûkkel is hogy jobban kiemeljem a kritikus részt: egy meg kettõ meg három meg pontpontpont!

Mi a fene ez a pontpontpont?! Nem mást jelent, mint hogy az eljárást ugyanígy folytatjuk… meddig is? Hát a végtelenségig! És itt álljunk meg egy pillanatra! Hol a fenében kezdõdik ez a végtelen? Hát ez az a kérdés, amit oly elõszeretettel ignorálnak!

A botnak ugyebár két vége van. (Az ásó olyan dilibot, amelynek az egyik végén egy kis föld van, a másik végén pedig egy dilijankó…) nos, a mi botunk közelebbi végét is egy dilijankó fogja, de hova nyúlik a másik vége? Hát a végtelenbe, de azt is mondhatom: a Semmibe! Úgy ám, ez a Semmi maga,a legteljesebb valóságában, olyan semmi, amely akármilyen hosszú botot is képes elnyelni! Amikor ezt írom: 1+2+3+ … akkor az elsõ szám az egyes, a második a kettes, a harmadik a hármas… és nincs utolsó! Mert ha ezt az összeget éppen n-ig számolom ki, akkor van utolsó tag, az n maga, és az összegképletben éppen ez az n játssza a fõszerepet! Ha az összeg a végtelenségig megy, akkor nincs utolsó elem, és akkor ki játssza a fõszerepet? Nos, a nemstandard anal erre találta ki az w-t!

A végtelen összeg utolsó tagja w, így hát az összeg se lehet más, mint w×(w+1)/2!  Ennek a dilibotnak tehát megvan a másik vége is! No és akkor most mennyi 1+1+1+1+… ? Elsõ egyes meg második egyes meg harmadik egyes … meg omegaadik egyes = omega, más nem is lehet! Egytõl számoltunk omegáig, az utolsó kimondott számnév tehát az omega!

No és akkor hogy állunk a SIÓ – módszerrel? Ott ugye 1+1+1+1+… = 1+(1+1+1+…) és erre azt mondtuk hogy a zárójelben ugyanaz van, tehát ha 1+1+1+1+…=w, akkor w=w+1!

Búslópisztoly! Mivel kivettük elõre az elsõ egyest, a zárójelben levõ összeg a második egyessel kezdõdik, tehát a zárójelben levõ rész csak w -1 ! És akkor w = 1 + w-1   és csámadár! Megszûnt az ellentmondás! Kicsit olyan ez, mintha a végtelenig való számolás-kor megállnánk valahol félúton. Ezért a kedvenc elnevezésem az omegára: félvégtelen!

Az epszilon pedig a félnulla! e×w =1, ez kicsit emlékeztet az 1/0-tól elvárt tulajdonságra.

Az e infinitezimális, és az e×r is infinitezimális, ahol r tetszõleges valós szám, ez meg olyan, mint a 0 ×r =0 !  Az w végtelen nagy egész, és az w×r is végtelen nagy egész, ahol r ismét tetszõleges valós szám, ez meg olyan, mint a ¥ ×r = ¥ ! Tehát jogos a félnulla és a félvégtelen elnevezés, valami olyat tudnak ezek is, de nem teljesen. Egy mérnök számára az e olyan nulla, amennyire csak nulla lehet valami, az w pedig éppen eléggé végtelen!

Éppen a mérnöki gyakorlatban ismertük meg a disztibúciókat, ahol a Dirac-féle delta függvény, a d(x) olyan hogy mindenütt nulla, kvéve az x=0-t, mert ott meg végtelen!

Egy szakadásos függvény deriváltjában ilyen Dirac-delták bukkannak fel, akár végtelen sok helyen is! Tehát tulajdonképpen a nemstandard dolgok ott voltak már a kezdet kezdetén a mérnöki gyakorlatban.

Ha mezei módszerrel számoljuk ki pl. az (1+1+1+1+…)²-et, akkor az alábbi módon járunk el: minden tagot minden taggal, tehát elsõ egyes szer (1+1+1+1…) plussz második egyes szer (1+1+1+1…) plussz stb, az annyi mint w+w+w+w … = w² , nem pedig w×(w+1)/2! 

Hát ez dráma. Hogy is adtuk össze az 1+1+1+1…-eket? Így:

1+1+1+1+1+1+1+…   majd ugye az egymás alá írtakat függõlegesen is összeadtuk, így

    1+1+1+1+1+1+…   kaptuk az ismert 1+2+3+4+5+… eredményt, ami azonban w×(w+1)/2

         1+1+1+1+1+…   nem pedig w² ! Az ellentmondás ordító, de nem végzetes! Mert
              1+1+1+1+…   nézzük meg már egy kicsit jobban, mit csináltunk! ELTOLTUK az egyes sorokat!
Akkor pedig az elsõ sorban 1-tõlw-ig, de a második sorban már csak 1-tõl w-1-ig, a 3. sorban w-2-ig, stb összegzünk! Akkor pedig valójában ezt csináltuk: w+w-1+w-2+w-3+w-4…= w+w+w+w...- (1+2+3+4…) és a vicc az hogy a zárójelben az van, amit ki akarunk számolni!  w+w+w+w… pedig ugye w² . A másik dolog, amire figyelni kell, hogy a –1 a második helytõl kezdõdik, így a zárójeles (1+2+3+4…) nem ugyanaz, mint a kiszámolandó, zárójeltelen 1+2+3+4… ! Lám, mennyire kell vigyázni! Ha 1+2+3+4… =A és  (1+2+3+4…) = B , akkor A+B = w²   és A – B = w, mert ezt a kivonást így is végrehajthatom: 1+(2-1)+(3-2)+(4-3)+… =1+1+1+1… =w.

Namost ezt a kétismeretlenes egyenletrendszert röhögve megoldhatom, és láss csodát,

A = w×(w+1)/2 lesz, ahogy vártuk!

Az Origó Fórumon feltették nekem azt a fogós ravasz kérdést, hogy vajon (1+e) ^w = e ?

Láttuk, hogy nem pontosan! A standard rész e, de van nem standard rész is! Ezért nagy óvatossággal kell a standard formulákat átvinni a nemstandard esetre! Erre figyelmezte-tett az 1/x Taylor-sorfejtése is! Na most akkor mégis van az 1/x-nek Taylor-sora? Mert klasszikusan ugye nincs…

1/x = 1/(1-(1-x)) = 1 + (1-x) + (1-x)² + (1-x)³ + (1-x)⁴ + … = (1+1+1+1…) – x(1+2+3+4…) +

+ x²(1+3+6+10…) – x³(1+4+10+20…) + … = w – x w(w+1)/2! + x² w(w+1)(w+2)/3! - …

ez ugyebár 1/x. Ha átszorzunk x-szel, ez lesz belle:

1 = x w – x² w(w+1)/2! + x³ w(w+1)(w+2)/3! - … és most az egészet hozzuk a baloldalra:

1 - x w + x² w(w+1)/2! - x³ w(w+1)(w+2)/3! + … = 0 ! A baloldalban a Newton féle kifejtési formulára ösmehetünk rá, ha nagyon odafigyelünk:

(1 – a ) ^b = 1 – ba + b(b-1)/2! a² – b(b-1)(b-2)/3! a³ + b(b-1)(b-2)(b-3)/4! a⁴ – …

Nos, nálunk a =x, b = -w , így ezzel valóban a fenti  1 - x w + x² w(w+1)/2! – …formulát

kapjuk. Ez viszont így szól akkor: (1 – x) ^-w = 0 ! Mi a fenét akar ez jelenteni?

A baloldal x-függõ, a jobboldal viszont x-tõl függetlenõl 0 !  (1 – x) ^-w = 1 /(1 – x) ^w = 0 ha

1-x > 1! Legalábbis a klasszikus analban.  Mi pl. e ^-w ? Ha így fejtem ki hogy

e ^-w = 1 – w + w²/2! – w³/3! … akkor megzavarodok. Egyre nagyobb végtelenek különbsége! De megint nyúljunk vissza az exp függvény eredeti definíciójához! Már egyszer pórul jártunk vele, láthattuk hogy (1+e) ^w = e  sem volt egzaktul igaz!

Tehát e ^x = (1+1/n) ^nx ha n tart végtelenhez, vagy  (1+x/n) ⁿ ha n tart végtelenhez, vagyis végül is (1+x/w) ^w   és  ha most x = -w –t helyettesítek, akkor (1 - w/w) ^w -t  kapok, ami  ugye (1 – 1) ^w  = 0 ^w , és  a nulla olyan jószág, aminek még az omegaadik hatványa is nulla!

Méghozzá egzaktul, becsapás nélkül… Hát úgy látszik, erre tanít a formulánk…

Nagyszerû kalandunk itt egyenlõre végetér a nemstandard Univerzumban. Bár tudjuk, hogy az igazi Játék még csak eztán kezdõdik! A tanulság az, hogy a valós számok világa csak egy piciny szelete egy sokkal hatalmasabb Világegyetemnek, amely a végtelen picik és a végtelen nagyok kimeríthetetlen osztályaiból áll. Nagyszerû megjelenítése ez a LON-nak, a Szintek Logikájának. Végtelen hierarchiák épülnek itten egymásba, mint a matrjoskababák. Azért van még egy kis kozmás mellékíz. Ha (1+e) ^w = e  nem igaz egzaktul, akkor e ^x = (1+x/w) ^w   = (1+e×x) ^w is legalábbis gyanús. De meg fog ez is oldódni. Mi van ha e –t úgy közelítem, hogy nem w-ig, hanem w²-ig számolok el? Pontosabb közelítés? Hiszen akkor az e nem is valós szám!! Hanem valami nemstandard szám, aminek van e-os része is! Vajon a p-nek is van nemstandard része? Nem tudom, hogy hány jegyre ismerik a p-t, de annyit mondhatok, több van neki mint végtelen!   Hehe, ez a legaranyosabb vicc!

És ha már az elszámolásnál tartunk, mikor mondhatjuk hogy igazán elszámoltunk a végtelenig? Hát az w ehhez roppant kevés! Még w² is kevés, de még w^w is kevés! El kell számolnunk az Univerzum legvégsõ határáig, ami nincs is! Mert az Univerzum szüntelenül túlhalad önmagán! Egyfajta konstans Big Beng állapotában van! És ez a végsõ megoldása a Cantor féle átlós módszernek is. Felsorolunk w darab valós számot? Már hogy a fenébe merítenénk ki õket ezzel? Bizony tovább kell számolni, w² –ig, w^w - ig, akármeddig! Persze valós szám nem túl sok van, lehet hogy elég elmenni w^w - ig, hiszen a kontínuum az mindössze 2 ^w ! Ami nyilván kisebb, mint w^w ! De lehet hogy nem is kisebb, hanem éppen annyi, ne feledjük, hogy a végtelen dimenziós térnek is csak kontínuumnyi pontja van! Bár az omegákkal vigyázni kell, itt már w+1 se w !

Még egy végszó a transzvergens sorokról: Klasszikusan 1+2+4+8+16…= ¥ , transzvergensen pedig – 1 volt. Mit mond erre a nemstandard anal? 1+2+4+8+16… = 1, 3, 7, 15, 31…

És ez éppen 2 ⁿ – 1 ! Most formálisan n = w –t helyettesítünk, és tüstént azt kapjuk, hogy

1+2+4+8+16… = 2 ^w – 1 ! Hát hiszen az éppen a kontínuum, levonva belõle egyet! Ennek a nemstandard része éppen az a fránya   –1  lesz, ami klasszikusan annyit se számít mint a bolhacsípés! De pl. visszacsatolt erõsítõknél éppen ez adja a helyes eredményt!

Mint tudjuk, transzvergensnek az olyan divergens sort nevezzük, aminek mégis felírható formulával az összegképlete! Ilyen pl. az (1 – 2) ^1/2 = 1 - 1/2 ×2 + 1/2(1/2-1) ×2²/2! - …

A baloldalon éppen Ö-1 áll, vagyis i !   A jobboldal klasszikusan divergens, de transzvergensen értelmezhetõ. Az a tény, hogy valós számok összeadogatásából komplex számokat is lehet kapni, arra inspirál engem, hogy feltételezzem: a pszeudoszámok éppen a komplex számok! Persze ezekbõl is sokkal több van, mint klasszikusan. A komplex számok részben rendezhetõk a Glab-Hess modell szerint, eszerint a komplex számok olyanok, mint a Relativitáselmélet fénykúp-modellje. Ha a valós részek különbsége nagyobb vagy egyenlõ mint a képzetes részek különbsége, akkor a két komplex szám közt kisebb-nagyobb reláció van (Glab = Greater – Less (a,b); idõszerûen elválasztott intervallum) ha meg a valós részek különbsége kisebb mint a képzetes részek különbsége, akkor a két komplex szám közt hess reláció van, azaz térszerûen elválasztottak.

Persze lehet hogy ez inkább a hiperbolikus komplex számokra jellemzõ relációfajta.

Akkor a pszeudoszámok hiperbolikus komplex számok? a+bE alakú számok, ahol E² =1,

De E se nem 1, se nem –1 . Mátrixrepijük ilyen:
 

a b =  a × 1 0 + b ×  0 1 
b a          0 1          1 0     

Az ilyen szám normája a² – b² , szorzásnál megõrzõdik, azaz N(a ×b) = N(a) ×N(b) .

Szóval lehet hogy a pszeudoszám ilyen jószág. De a komplexek is ott bújkálnak, hiszen ott a csapat 3-ik tagja, az e is! Igaz, ez az e nem olyan hogy e² = 1! Lehet hogy olyan e is van?

Dobó Andor kedvenc világa…

Ez a 3 mandeljulcsa kép arra emlékeztet, ahogy a transzfinit számozást ábrázolják.

0 ....1 .....2....3 4 .5 6 7 8 ........................................................................................................w
…w  w+1 w+2         2w  2w+1 2w+2 3w 3w+1 3w+24w   5w ...  w²   w³  w⁴ w^w w^w 

Monásznak nevezzük egy transzfinit egész valós környezetét, tehát pl. az w-2, w-1, w ,

w+1,  w+2, w+3… számok összességét. A monászokat így ábrázolom:

-3 -2-1 0 1 2 ...   w-2 w-1 w  w+1 w+2   2w-2 2w-1 2w 2w+1 ...    3w-2 3w-1 3w3w+1...

A standard monász közepe a nulla, az w monász közepe az w,  a 2w monász közepe a 2w

és tõle balra a 2w-n számok, tõle jobbra a 2w+n számok vannak. Mi van két monász között? Újabb monászok! Az aszimptota vonala valójában végtelen sok számot sûrít magába! És akkor ez a helyzet minden más ponttal is, ha kinagyítom, kiderül róla hogy végtelen gazdag szerkezete van! Így a 0 monász és az w monász közé esik az w/2, w/3,

Öw stb monász… e monászokhoz nagyon hasonló dolgokat neveztem én 76-ban kvadron-nak! Ott a természetes számok részhalmazai szerepeltek, és két részhalmaz akkor tarto-zott egy kvadronba, ha csak véges sok elemben különböztek egymástól.

Minden pont egy univerzum kapuja! A Cantor-halmaznál minden pontsorozatot intervallumok választanak el. Sejttolongás! Minden pont maga is kiárad a végtelenbe!

A 2001. Ûrodüsszeia címû film fináléja jeleníti meg ezt nagyon jól.

A 76-os kvadronmodellben bárhogy adok meg egy mértéket, mindig lesznek olyan halmazok, amelyek ebben a mértékben nulla méretûek, és mégse egyetlen pontból állnak!

Ezeket neveztem fátyolkáknak. A ritkaságuk nulla, de egy másik mértékre áttérve már véges mértékûvé válnak. Az Androméda köd pl. egy jelentéktelen pici folt az égen, de ha odautazok, már óriásira nõ, betölti a Mindenséget, õ maga válik Mindenséggé!

A transzfinit számok fenti ábrázolását véltem felismerni a logarléc sûrûsödõ beosztásánál.

A benzin révén azt is megtapasztaltam, milyen az ha a tudat monászokra bomlik, fraktál-tükörcserepekre esik szét, melyek eltávolodnak egymástól, és elolvad bennük a világ.

Korábban azt írtam hogy e ^-w = 0 egzaktul. Nos ez nem igaz. Nagyon egyszerû belátni,

ti. (e ^-w ) ^e = e ^{-w e} = e ^-1 = 1/e , márpedig 0 ^e = 0   lenne! A nullának egyedül a nulladik hatványa 1 az összes többi pozitív hatványa nulla! Mindenesetre e ^-w nagyon pici…

Mennyi vajon (1+w) ^e ? Közelítsük így: (1+n) ^1/n  = e ^ln(1+n)/n  = 1 + ln(1+n)/n + (ln(1+n)/n)²/2

+ stb… Még valamire kell figyelni: Ha az e ^x  = (1 + x / w) ^w  közelítést használjuk, ez biztosan csõdöt mond, ha x = w ! Erre e ^w  = (1 + w / w) ^w  = 2 ^w   adódna, vagyis e = 2 !!

Ö1+w = (1+w) ^½  = 1 + ½ w + ½( ½-1) w ² /2! + … = 1 + 1/2 w  – 1/8 w ² + 1/16 w ³ + …

ha ezt megszorzom önmagával, 1+w marad, a többszörös végtelenek kiejtik egymást.

Na most a szemlélet azt sugallja, hogy Ö1+w bár végtelen nagy, mégis < w . Nadehát ebben többszörös végtelenek is vannak! w ² , w ³ , w ⁴ , … ! Az w ² együtthatója negatív, így

Ö1+w < w , de w ³ együtthatója pozitív, így Ö1+w > w , de w ⁴ együtthatója megint negatív,

így Ö1+w < w , és így tovább, szakasztott olyan a helyzet, mint mikor két kutya veszekszik, és ide-oda rángatják a lábtörlõt! Most az a kérdés, hogy a sok ide-oda rángatásból végül is

Ö1+w < w  kerekedik? Nincs minden kérdés tisztázva itt…

De egy dolog biztos: a nemstandard analízis csodálatos dolog, az általa kínált bõvebb valóságkép szerintem jobban leírja a világot. Persze vannak, akiknek már a valós számok is magas mint Röfinek a stelázsi, mert ki hallott még olyat hogy egy valóságos anyagi kör kerülete egészen pontosan pí?! Ki számolt el egészen a végtelenig? Annyira még a csillagok sincsenek messze! Az anyagi világ egy tökéletlen világ, viszont a materialisták számára az egyetlen létezõ realitás. Én viszont megtapasztaltam a szupravalóságot, láttam, mi van odaát. Engem nem gyötörnek kétségek. A Mandi révén mások is elláthatnak a Végtelenbe.

Az Univerzum nyitva áll elõttünk. Csak merjünk oda belépni! Illúzióinkat itt hagyjuk a küszöbön. Félelmeinket szélnek eresztjük. És fellángol elõttünk a Mindenség Prímgyöngye

A maga teljességében és önvalójában! Megérkezünk oda, ahova eredetileg indultunk…

Végszóként még annyi, hogy ráakadtam egy füzetemben a Öw és a Öe kiszámítására!

Íme: Ha 1+1+1+1+… =w és 1+x+x²+x³+x⁴ + … = 1/(1 – x) akkor w = 1/(1 – x) ú _x=1 !

Node akkor Öw = 1/Ö(1 – x) ú _x=1  !  Már csak az a dolgunk hogy Taylor sorba fejtsük és vegyük az x=1 helyen! (1 – x) ^–1/2 deriváltjai így jönnek:

(1 – x) ^–1/2, 1/2(1 – x) ^–3/2, 1/2×3/2 (1 – x) ^–5/2, 1/2×3/2×5/2 (1 – x) ^–7/2, 1/2×3/2×5/2×7/2 (1 – x) ^–9/2,

1/2×3/2×5/2×7/2×9/2 (1 – x) ^–11/2  … stb. Így a keresett Taylor-sor:

(1 – x) ^–1/2 = 1 + 1/2 x + 1/2×3/2 x²/2! + 1/2×3/2×5/2 x³/3! + 1/2×3/2×5/2×7/2 x⁴/4! + … =

(1 – x) ^–1/2 = 1 + 1/2 x + (1×3)/(2×4) x² + (1×3×5)/(2×4×6) x³  + (1×3×5×7)/(2×4×6×8) x⁴+ … =

(1 – x) ^–1/2 = 1 + 1/2 x + 3/8 x² + 5/16 x² + 35/128 x² + 63/256 x² + …

Ez az x = 1 helyen az alábbi sort adja:

Öw = 1 + 1/2 + 3/8 + 5/16 + 35/128 + 63/256 + …

Most persze az a kérdés hogy ez tényleg Öw -t adja? Szorozzuk meg önmagával!

(1 + 1/2 x + 3/8 x² + 5/16 x² + 35/128 x² + 63/256 x² + …) ² =

= 1×1 + ( 1×1/2 + 1/2 ×1 ) x + (1×3/8 + 1/2 ×1/2 + 3/8 ×1 ) x ² + … = 1+x+x²+x³+x⁴ + … !

És ez az x = 1 helyen tényleg 1+1+1+1… =w .

Taylor sor nélkül is meg lehet ezt kapni! Ehhez abból indulunk ki hogy

Öw = a₀ + a₁ x + a₂ x²  + a₃ x³+ a₄ x⁴+ a₅ x⁵+ a₆ x⁶  + … és ezt megszorzom önmagával,

azt várom hogy az eredmény 1+x+x²+x³+x⁴ + … legyen, minden együttható 1 !

Ebbõl az alábbi egyenletrendszer kerekedik:

a₀ ×a₀  = 1 , tehát a₀ =1 .

a₀ ×a₁  + a₁ ×a₀  = 1 = 1 ×a₁  + a₁ ×1  = 1 , tehát a₁ =1/2 .

a₀ ×a₂  + a₁ ×a₁ + a₂ ×a₀ = 1 =  1 ×a₂  + 1/2×1/2 + a₂ ×1  , tehát a₂ =3/8 .

a₀ ×a₃  + a₁ ×a₂  + a₂ ×a₁ + a₃ ×a₀  = 1 =  1 ×a₃  + 1/2 ×3/8  + 3/8 ×1/2 + a₃ ×1  , tehát a₃ =5/16 .

Az eljárást folytatva minden együtthatót megkapok.

Klasszikusan az  1 + 1/2 + 3/8 + 5/16 + 35/128 + 63/256 + … sor divergens, hiszen a Öw egy

végtelen nagy nemstandard szám! Így is kell lennie.

A Öe –ra ugyanez a móka megy, csak most a Ö1-x függvényt kell sorbafejteni.

Az eljárás teljesen analóg, és az eredmény is hasonló, így csak a végeredményt közlöm:

Öe = 1 – 1/2 – 1/(2²×2!) – (1×3)/(2³×3!) - (1×3 ×5)/(2⁴×4!) - (1×3 ×5 ×7)/(2⁵×5!) - …

Öe = 1 – 1/2 – 1/8 – 1/16 – 5/128 – 7/256 - …

Hátravan még annak belátása, hogy Öw ×Öe tényleg 1 ! ehhez a két sort kell összeszorozni:

(1 + 1/2 x + 3/8 x² + 5/16 x² +…) × (1 - 1/2 x - 1/8 x² - 1/16 x² +…) =1 – 0 – 0 – 0 - … =1 !

Úgy látszik, nehéz a kék lovat megállítani, ha egyszer úgy istenigazából nekilódul!

Csak úgy özönlenek a gondolataim a témával kapcsolatban!

Láttuk, hogy a Öw –t az 1/Ö1 – x  függvénnyel állítottuk elõ, aÖe –t pedig a Ö1 –x függvénnyel. A kettõ szorzata nyilván mindig 1, kivéve pont azt az érdekes esetet, amikor

x=1 ! Node ilyenkor a L’Hospital szabályt kell alkalmazni, és megnyugodhatunk, a kettõ szorzata ilyenkor is 1 . Node hogy a fenébe van ez? Hiszen ha x=1, akkor Ö1 –x értéke nulla! Nullával szorozva mindenbõl nulla lesz! Haha, de az 1/Ö1 –x viszont végtelen!

És akkor elõvesszük a Bronstejn kis zsebkönyvecskéjét, és felütjük a 345. oldalon, és máris recepteket találunk a 0 / 0 , 0 / ¥ , ¥ / 0 és ¥ / ¥   típusú esetekre! Az analízis tehát már rég acceptálta ezeket a végtelen dolgokat, csak körülményesen körülírogatja!

A limeszfogalom jó segédeszköz, csak körülményes. A konstruktivisták pl. azt mondják, hogy az 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 … sor tetszõlegesen megközelíti az 1-et, ha elég sokáig elszámolunk, de tagadják, hogy a fenti sor már itt és most, aktuálisan is egészen pontosan 1 lenne! Márpedig a SIÓ-módszerbõl ez egyenesen következik! Mint tudjuk, SIÓ = Self- Involving Object = Öntartalmazó dolog, a fenti sornál így kell alkalmazni:

1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 …= x = 1/2 + 1/2 ×(1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 …) = 1/2 + 1/2 ×x vagyis azt kaptuk hogy x = 1/2 + 1/2 ×x , és ennek az egyszerû egyenletnek a megoldása ha hiszitek ha nem, egészen pontosan x = 1 !! Tehát ebben a SIÓ-felfogásban az  1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 …

sor aktuálisan létezik, mind a végtelen darab tagra, és az összeg nemcsak közelíti az 1-et, de pontosan azonos is vele! A vicc az, hogy ugyanez az okoskodás 1:1-ben alkalmazható az

1+2+4+8+16+… sorra is, ami klasszikusan divergens! Íme: 1+2+4+8+16+…=x ,

x = 1 + 2×(1+2+4+8+16+…) = 1 + 2x , és ennek a megoldása x = -1 ! Hát ez elég meglepõ, pozitív számok összege negatív, erre mondtam azt hogy a végtelenek körbeérnek,

+ ¥ = - ¥ . A projektív geometria és a komplex számok Riemann-gömb-ábrázolása is ezt

sugallja. Hogy a nemstandard objektumok mennyire benne vannak az analízisben, mi sem mutatja szebben, minthogy van a Bronstejnben a 347. oldalon egy fejezet, melynek címe: Végtelen kis mennyiségek! Innen idézek:

Az x változó a függvényét akkor nevezzük x g a ra végtelen kicsinynek, ha ezen a helyen a határértéke 0 , azaz lim (x g a ) a = 0 .

Az x változó a függvényét akkor nevezzük x g a ra végtelen nagynak, ha ezen a helyen a határértéke  ¥ , azaz lim (x g a ) a = ¥ .

Ha a , b végtelen kicsinyek és r véges, akkor a×r , a / r , a×b végtelen kicsiny, a / b lehet végtelen kicsiny, véges vagy végtelen nagy is.

A végtelen nagyoknak és végtelen kicsiknek rendjük is van: Ha a / b  végtelen kicsiny, akkor az a magasabb rendben végtelen kicsiny mint b. Ha a / b  véges, akkor azonos rendben végtelen kicsinyek. Ha a / b  végtelen nagy, akkor b  magasabb rendben végtelen

kicsiny , mint a.

Na, hát ez gyönyörû. Ha n > m, akkor e ⁿ magasabb rendben végtelen kicsiny mint e ^m .

Tehát arról van szó, hogy a nemstandard számokat kezdetben ugyanolyan kísérteteknek tartották, mint a középkorban a komplex számokat. Cardano híres képlete idõnként nagyon fura válaszokat adott!  Oldjuk meg pl. az x 3 – 15 x – 4 egyenletet!

Helyettesítéssel meggyõzõdhetünk róla, hogy az x = 4 megoldása ennek: 64 – 60 – 4 = 0.

Most idézzük fel a Cardano – képletet, ill. azt, hogy lehetett erre rájönni!

Legyen x = ³Ö a+b + ³Ö a-b ! x ³ = ( ³Ö a+b + ³Ö a-b ) ³ = a + b + a – b + 3 ³Ö a²-b² x =

= 2 a + 3 q x  . Ez az x tehát kielégíti az  x ³ - 2 a + 3 q x  = 0 egyenletet!

q ³ = a² – b² miatt b = Ö a ² – q ³  és ezt tegyük bele x képletébe:

x = ³Ö a + Ö a ² – q ³ + ³Ö a – Ö a ² – q ³ Gyõnyörû, na lényegében ez a Cardano-képlet!

A példánkban a = 2 és q = 5 , ezeket tegyük a képletbe:

x = ³Ö 2 + Ö 2 ² – 5 ³ + ³Ö 2 – Ö 2 ² – 5 ³ = ³Ö 2+ Ö – 121 + ³Ö 2 – Ö – 121 …

No és szegény Cardano ekkor rémült el: mi a jónyavalya az a Ö-121 ? És hogy a francba kell belõle köbgyököt vonni? És pláne, hogy lesz ebbõl a rémségbõl 4? Hát ezt akkor nem tudták! Ma már a komplex számok ismeretében tudunk válaszolni.

Ma ezt a jószágot így írjuk: x = ³Ö 2 + 11 i +  ³Ö 2 – 11 i . Hátravan még a köbgyök.

2 ² + 11 ² = 125 = 5 ³ , láss csodát, ebbõl lehet köbgyököt vonni! Legyen a köbgyök a + bi !

( a + bi ) ³ = a ³ – b ³ i + 3 a ² b i – 3 a b ² = a ( a ² – 3 b ² )  - b i ( 3 a ² – b ² ) = 2 + 11 i.

a ( a ² – 3 b ² ) = 2 , egész megoldásra tippelünk, a vagy 1, vagy 2, ha a=1, akkor a zárójel

vagy 1 vagy negatív, nem jó. Ha a=2, akkor b=1 tökéletes megoldás!  2 + i és 2 – i !

( 2 + i ) ³ = 2 + 11 i ,  és ( 2 - i ) ³ = 2 – 11 i , íme a két köbgyök, és ezek összege 4 !!

Megkaptuk a hõn áhított 4 –ünket. A harmadfokú egyenletnek ezen kívül van még 2 másik gyöke is, ezeket egy sajátos módszerrel kapjuk meg: e ₁ = (-1+iÖ3)/2  és

e ₂ = (-1-iÖ3)/2 segítségével  x ₂ = e ₁ (2+i) + e ₂ (2-i)  és x ₃ = e ₂ ×(2+i) + e ₁ ×(2-i) .

Na így már teljes a megoldás : x ₂ = -2 – Ö3  és x ₃ = -2 + Ö3 .

Mért tettük ezt a kis Cardano – kitérõt? Hogy prezentáljuk, hogy a ma már elfogadott komplex számok is valaha kísértetként kezdték, afféle átkelés a mocsáron, az abszurdum birodalmán! A nemstandard objektumok is felfoghatók mint gyorsírás, bizonyos formulák tömörebb megfogalmazása, de el kell jutnunk oda hogy elfogadjuk: a nem-standard objektumok is léteznek, kész, befejezett, zárt egészek, nemcsak egy folyamat határértékei, hanem aktuális léttel bírnak! A differenciálok a mozgást írják le, én pedig rájöttem, hogy a mozgás maga is anyag! Hiszen ezt fejezi ki az E = m×c ² is! Az epszilonok a határértékképzés során keletkeznek, Knuth konstrukciója viszont megmutatta, hogy maguk a számok is a keletkezés állapotában vannak! Nincs tehát különbség!

Vannak persze akik nem hisznek az infinitezimálisokban, sõt a végtelenben sem.

Nem lep meg engem az ilyesmi, hiszen egy fizikus számára már a 8 jegy pontosság is agyrém! Minket az ELTÉn megbüntettek, ha a jegyzõkönyvbe 8 jegyre kiszámolt számokat írtunk be (mivelhogy kalkulátorral számoltuk ki) hiszen minek a 8 jegy pontosság, ha egyszer a mérés maga csak 3 jegyre pontos? A jelszó ez volt:

Mérd mikrométerrel, jelöld krétával, vágd baltával! A matematikus hajlandó a másik végletbe esni: Mérd collstokkal, jelöld gyémánttûvel, vágd számítógépvezérelt precíziós lézerrel! A végtelen sok jegynek semmi gyakorlati haszna, hiszen ki látott már olyan krétával rajzolt kört, aminek egész pontosan p a kerülete?! A valóságban minden mérték vibrál, lüktet, ki is találtam a vibráló halmazokat, ezek körvonala sohasem pontos, mindig elmosódott.Afféle puhafraktálok. A nemstandard analban viszont a végtelen sok jegy sem elég pontos! Régen ezt agyrémnek éreztem, ki is találtam a Matematikai Szupraparanoia

Végtelen Hierarchiáját, ahol a végtelenedik végtelenek szupervégtelenjei sorakoznak vég nélkül egymás felett és alatt, olyan ez mint  a skolasztika számításai az angyalok rang-létrájáról, hány angyal és arkangyal van beosztva egymás alá… már az indiaiak jugái is rémülettel töltöttek el, 8640 trillió év Brahmá egy napja, és ugyanannyi egy éjszakája, és Brahmá 100 ilyen évig él… lehet hogy a számok nem pont ennyi, de elég nagy.

A szuprahasztella donna konstrukcióval aztán én is rálicitáltam ezekre, sikerült akkora számot teremteni amit Isten se bír el…

Még egy pici kitérõ: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …+ 1/n = ln n + C  ahol C az Euler –Mascheroni állandó, C = 0.57722… Ez a képlet azt sugallja, hogy

ln w = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … - C . Na most már ezt is tudjuk.

e ^{ln w} = e ^{1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … - C}  = w = 1+1+1+1+… lehet hogy ebbõl megtudunk valamit a C – rõl ?  Mert hogy eddig azt se tudják hogy rac vagy irrac szám –e ez?

Ö 1+w = Öw Ö 1+e = Öw( 1 + 1/2 e + 1/8 e ² + …) = Öw + 1/2 Öe + kisebb tagok…

Ha két nemstandard szám pl. végtelen sorral van megadva, akkor a szorzásuknál be kell tartani a megfelelõ szabályt, és akkor nem jutunk ellentmondásra.

Ha A = a ₀ + a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ + … és B = b ₀ + b ₁ + b ₂ + b ₃ + b ₄ + … akkor

A ×B = (a ₀ + a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ + …) × (b ₀ + b ₁ + b ₂ + b ₃ + b ₄ + …) =

= a ₀ b ₀ + (a ₀ b ₁ + a ₁ b ₀) + (a ₀ b ₂ + a ₁b ₁ + a ₂ b ₀) + (a ₀ b ₃ + a ₁ b ₂ + a ₂b ₁ + a ₃ b ₀) + …

vagyis úgy járunk el, mintha két hatványsort szoroznánk.

A(x) = a ₀ + a ₁ x+ a ₂ x ²+ a ₃ x ³+ a ₄ x ⁴+ … , B(x) = b ₀ + b ₁ x+ b ₂ x ²+ b ₃ x ³+ b ₄ x ⁴+ …

Ezeket elõbb összeszorozzuk, majd az x=1 helyen vesszük.