GÖDEL NEMTELJESSÉGI TÉTELEI

Ezen a címen jelent meg Raymond Smullyan könyve. Gödel lényegében azt bizonyította be, hogy egy matematikai rendszer vagy teljes, de akkor ellentmondásos, vagy ellent-mondásmentes, de akkor nem teljes. Ha ellentmondásos, akkor használhatatlan, mert akkor minden állítást, és annak tagadását is le lehet vezetni. Ha viszont ellentmondás-mentes, akkor akárhogy bõvítgetjük az axiómarendszert, mindig lesznek eldönthetetlen problémák, azaz olyanok, amelyeket se bizonyítani, se cáfolni nem lehet az adott rendszer keretein belül. Látni fogjuk azt is, hogy vannak olyan állítások is, melyekrõl tudjuk hogy igazak vagy hamisak, csak az adott rendszerben nem bizonyíthatóak, illetve nem cáfolhatóak.

Felmerül a jogos kérdés, hogy akkor honnan tudjuk hogy igazak vagy hamisak? Hát onnan, hogy kilépünk az adott rendszer keretei közül egy bõvebb rendszerbe! Véleményem szerint Gödel pontosan azt bizonyította be, hogy a matematikai igazságok eredete, forrása transzcendens, metafizikai, épp ezért nem lehet õket egy jól mûködõ gép segítségével automatikusan megkapni. Akárhogy definiálok egy gépet, akármilyen bonyolult és ügyes szerkezet is az, nem fog minden igazságot automatikusan létrehozni, éppen azért, mert ezek az igazságok magára a gépre is vonatkoznak, tehát a rendszer öntükrözõ, önmagára hivatkozó. Pontosan azzal a jelenséggel állunk szemben, amely a Mandelbrot halmaznál is fellép: Az öntükrözés miatt bonyolult, egymásbaágyazott fraktálszerkezetek jönnek létre! Olyan ez, mint egy végtelen sok egymásbarakott Matrjoska-baba. Az állítások egymásra hivatkoznak, egymásra mutogatnak, és se vége, se hossza a logikai labirintusban való bolyongásnak! Tehát a Borges-féle Elágazó ösvények Kertjében találjuk magunkat! Olyan ez, mint a Komámasszony, hol az olló címû gyermekjáték logikai megfelelõje. Szerintem a problémák egy része abból fakad, hogy halmazként definiálunk olyan dolgokat, amik talán nem is halmazok, hanem bonyolultabb jószágok. Ez a gyanú ébred fel bennem, amikor Smullyan a bizonyítható mondatok halmazáról beszél. Halmaznak ugyanis akkor nevezünk egy összességet, ha minden dologról egyértelmûen eldönthetõ, hogy eleme-e a halmaznak, vagy sem. Ez azonban a bizonyíthatóságnál nem áll fenn, hiszen éppen errõl szólnak a Gödel-tételek! És óhatatlanul be fog lépni a képbe a négyértékû logika is, ahol az igaz és a hamis igazságérték mellett még szerepel az egyszerre igaz és hamis, illetve a se nem igaz, se nem hamis logikai érték is. Ezek neve rendre igen, nem, is, se. Mindezek az önegymástükrözés következményei, vagyis az állítások egy része magukról az állításokról szól, sõt, van olyan állítás is, amely önmagáról állít valamit.
Látni fogjuk azt is, hogy a Hiány elpusztíthatatlan, és azt is, hogy az ellentmondás része minden értelmes, kellõen bõ logikai rendszernek. Egy ellentmondásmentes rendszer nem teljes, tehát hiányos, és akárhogy bõvítgetem, ez így marad. Vannak olyan logikai rendszerek is, mint pl. a kvantumlogika, ahol egymásnak ellentmondó állítások is lehetnek egyszerre igazak, pl. az elektron mindkét résen áthalad a kétréses kísérletben, vagy az elektron egyszerre részecske és hullám. Ezek az ún. komplementer igazságok.
Ennek ellenére a kvantumlogika mégsem semmitmondó, mert a klasszikus logika egyik legfontosabb tulajdonsága, a disztributivitás hiányzik belõle. A metakritsa-logika végtelen logikai mélységû, és a kritpontjain keresztül beleárad a transzcendens, metafizikai világ eredendõ õs-igazsága. Felragyog a KVAX Fényöle, és kiárad belõle minden teremtett lény. A halmazok világát a Mismazokkal kell bõvíteni.

Mismaz=Mindig Más És Mégis Mindig Ugyanaz.

Ezeknél szembeötlõvé válik az, amit a halmazoknál elbliccelnek és ignorálnak: a halmaz pereme! Ezek azok a dolgok, amik egyszerre elemei is a halmaznak meg nem is elemei, illetve se nem elemei, se nem nemelemei. Mert mi is az a halmaz? Nem más, mint egy kupacolási algoritmus: a világ dolgait két kupacba rakom szét, az egyik kupacot elnevezem a halmaz elemeinek, a másik kupacot pedig a halmaz komplementerének. A halmaz peremének nevezzük azokat a dolgokat, amelyek egyik kupacba se illenek. (Akkor végül is három kupacba raktuk a világot, nem? Sõt, négy kupacba, mert a perem egyik fele elem is meg nem is, a másik fele pedig se nem elem, se nem nemelem ). Nevezhetjük a halmaz, vagy mismaz peremelemeit képzetes elemeknek is, az elemeket pedig valós elemeknek. Így létezhet mismaz, melynek nincs is valós eleme, csak képzetes. Ez azt is jelenti, hogy akkor többféle üres halmaz is van! Amellett a közhiedelemmel ellentétben, nem az üres halmaz a Semmi! Az üres halmaz nagyon is valami, és belõle fel lehet építeni a halmazelméletet. Az igazi Semmi az üres halmaz eleme! Mivelhogy az üres halmaznak nincs is eleme!
Ha az üres halmazt így jelöljük: { } , akkor az üres halmaz (nemlétezõ) elemét így: @ . Tehát akkor @ e { } .
Fontos összetevõje még a halmaznak a halmazburok, ami összetartja a halmazt. Ez az a formula, név, szabály, mellyel a halmazt képzem! Szimbólikusan ezt jeleníti meg a két kapcsos zárójel. Ezért nem a Semmi az üres halmaz: mert van legalább halmazburka!

Következzen most Smullyan példája, amellyel Gödel nemteljességi akarja illusztrálni!

Az eredeti 5 szimbólum helyett én csak 3-at fogok használni, mert a mondandó szempontjából a 2 zárójel tökéletesen fölösleges.

Legyen tehát G egy gép, amely az N, P, D betûkbõl álló kifejezéseket nyomtat ki, printel.
Minden véges betûkombinációt kinyomtat, ami kinyomtatható. Az X kifejezés tehát egy NPD betûkombináció, pl. NNPDD . Az X kifejezés Duplája az XX kifejezés, pl. NNPDD Duplája az NNPDDNNPDD kifejezés. Mondatnak nevezzük az olyan kifejezést, amelynek formája megegyezik az alábbi 4 séma valamelyikével:
1. PX, ahol X nem D-vel kezdõdik.
2. PDX , ahol X tetszõleges.
3. NN…NPX , ahol valahány darab N van az elején, és X nem D-vel kezdõdik.
4. NN…NPDX , ahol szintén valahány darab N van az elején, és X tetszõleges.
Mind a 4 esetben X nem üres kifejezés! A mondatok jelentése: PX = az X kifejezés printelhetõ. PDX = az X Duplája, azaz XX printelhetõ. NPX = X nem printelhetõ. NPDX = X Duplája, azaz XX nem printelhetõ. Ha az NN…NPX mondat elején páros számú N van, akkor jelentése megegyezik PX jelentésével, ha pedig páratlan N van, akkor az NPX jelentésével.

A mondathoz igazságértéket is rendelhetünk.
A PX mondat igaz, ha X (nem D-vel kezdõdõ kifejezés) tényleg printelhetõ.
PDX igaz, ha XX printelhetõ. NPX igaz, ha X (nem D-vel kezdõdõ kifejezés) nem printelhetõ,
és NPDX igaz, ha XX nem printelhetõ.
Ha a mondat nem igaz, akkor hamis.

A G gép mûködési szabálya pedig ez: nem nyomtat ki egyetlen hamis mondatot sem! Tehát a gép minden kinyomtatott mondata igaz! Ezen felül a gép kinyomtat minden olyan kifejezést is, ami nem mondat (így igazságértéke sincs).
Gépünk a legmesszebbmenõkig akkurátus: minden mondat, amelyet kinyomtat, igaz. Vagyis ha a gép valamikor kinyomtatja a PX mondatot, (ahol X nem D-vel kezdõdik) , akkor X ténylegesen kinyomtatható, és a gép elõbbutóbb ki is fogja azt nyomtatni! Hasonlóan, amennyiben PDX kinyomtatható, akkor XX is az, és elõbbutóbb ki is lesz nyomtatva!
Tegyük fel mármost, hogy X (nem D-vel kezdõdõ kifejezés) kinyomtatható.
Következik-e ebbõl, hogy PX is kinyomtatható? Nem feltétlenül! Ha X kinyomtatható, akkor PX kétségkívül igaz - ám semmi sem garantálja, hogy gépünk minden igaz mondatot ki tud nyomtatni, csupán azt tudjuk, hogy gépünk sohasem nyomtat ki hamis mondatot. (Olyan kifejezést pedig, ami nem mondat, nyugodt szívvel kiprintelhet a masina!) Képes-e a gép arra, hogy (elvben legalábbis) az összes igaz mondatot kinyomtassa? Milyen jó is lenne, íme az Igazsággyár, amely minden igazságot egyszer s mindenkorra elõállít! A válasz azonban, sajnos, nem! Nagyon egyszerûen tudunk rittyenteni olyan mondatot, amely igaz, mégsem nyomtatható ki! Ez olyan mondat, amely a saját kinyomtathatatlanságát állítja, azaz pontosan akkor igaz, ha nem nyomtatható ki! Íme, ez az NPDNPD mondat! Jelentése: Nem-Printelhetõ-a Duplája-
NPD-nek! Node NPD duplája õ maga, azaz NPDNPD! Mondatunk tehát pontosan akkor igaz, ha nem nyomtatható ki, így két eset lehetséges: vagy igaz, de nem kinyomtatható, vagy nem igaz, de kinyomtatható. Ez a második lehetõség azonban lehetetlen: a gép soha nem nyomtat ki hamis mondatot! A mondat tehát igaz, és ennél fogva a gép tényleg soha nem fogja azt kinyomtatni!

Látjuk tehát, hogy mihelyst felbukkan egy rendszerben az öntükrözés és az önmagára vonatkozás, máris borul a bili, és mindenféle fura dolgok történnek!
Az igaz mondat meghatározásával ugyanis egy önreferenciális rendszert is definiáltunk:
A gép által kinyomtatott mondatok ugyanis éppen arról szólnak, hogy a gép mely mondatokat képes kinyomtatni - a gép tehát a tulajdon viselkedését írja le!
[ Bizonyos értelemben az öntudattal bíró organizmusokra emlékeztet, s ennek következtében tarthatnak számot az ehhez hasonló számítógépek a mesterséges intelligencia szakembereinek érdeklõdésére.]

A 3 karaktert felhasználó, s bizonyos kifejezéseket kinyomtató gép egy matematikai rendszer modellje, amely - ugyanezen 3 karakterbõl felépülõ mondatokat bizonyít be.
P jelentése ekkor ez: A rendszerben bizonyítható. Ha a rendszer tökéletesen akkurátus, vagyis egyetlen hamis mondata sem bizonyítható, akkor a fenti NPDNPD mondat a rendszer egy igaz, de bizonyíthatatlan mondata lenne. A mondat tagadása az NNPDNPD mondat, amely ekvivalens a PDNPD mondattal. Ez a mondat hamis, mégse cáfolható! Hamis lévén nem is bizonyítható! Íme tehát egy mondat, amely se nem bizonyítható, se nem cáfolható, tehát a rendszeren belül eldönthetetlen!

Na, eddig Smullyan. Jöjjenek az én kommentárjaim.

Az elsõ mindjárt ez: A PDNPD mondat csak a rendszeren belül eldönthetetlen, valójában tudjuk hogy hamis. Kérdés az, hogy akkor honnan tudjuk? Hát a fenti gondolatmenet révén! NPDNPD nem lehet hamis, mert akkor a gép hamis mondatot nyomtatna ki, tehát csak igaz lehet. Akkor pedig a PDNPD csak hamis lehet. Mi ez, ha nem bizonyítás? Nos, bizonyítás, de nem a rendszer keretein belül! Vagyis egy metafizikai bizonyítás! Olyan ez, mint a csoportelméletben a belsõ automorfizmus és a külsõ automorfizmus kapcsolata.
A belsõ automorfizmus megadható XAX' alakban, ahol X' az X inverze, de nem minden automorfizmus ilyen. Mint látjuk, a transzcendencia szükségképpen fellép a matekban!

Kérdés az, hogy vajon a gépünket jóldefiniáltuk-e? Csak akkor tekinthetjük jóldefini-áltnak, ha minden véges betûkombinációról véges lépésben el tudja dönteni, hogy ki akarja-e nyomtatni, vagy sem.
Válaszom az, hogy nem! Vannak ugyanis olyan mondatok, melyek igazságértékének eldöntéséhez végtelen hosszú feltételláncokon kell végigmenni! Tehát a gép véges lépésben nem tudja eldönteni, hogy a mondat igaz-e vagy hamis!
Ilyen a PDPDN mondat. Ez akkor igaz, ha PDN Duplája, tehát PDNPDN printelhetõ. Ez azonban megint mondat, és akkor igaz, ha NPDN Duplája, tehát NPDNNPDN printelhetõ. Ez azonban megint mondat, és akkor igaz, ha NNPDNNNPDN nem printelhetõ.
Látjuk, hogy a mondataink hasából egyre hosszabb mondatok bújnak elõ, ebben a matrjoskában tehát végtelen sok baba bújik meg! Az alábbi növekedõ sorozatot kaptuk: PDN, NPDN, NNPDN, NNNPDN, NNNNPDN, . . . ill. ezek Duplája. Az N-ek száma korlátlanul nõ! NNPDNNNPDN pl. nem printelhetõ, de ettõl még lehet igaz, vagy hamis.
És a feltétellánc többi eleme is ilyen, vagy ez, vagy az, és máris az Elágazó Ösvények Kertjében találjuk magunkat, Borges papa szép novellájának helyszínén! Egy olyan géppel kellene tehát dolgoznunk, amely képes kezelni aktuálisan végtelen szavakat, sõt képes véges idõ alatt végtelen feltételláncokon is végigfutni, ez pedig eredeti definíciónk szerint NEM GÉP! Mert gép az, ami véges bemenetet véges számú lépésben véges kimenetté alakít. Látni fogjuk, hogy a metakritsaagy már képes erre! Sõt, hát az emberi agy is képes rá!
A = 1.414213562 . . . egy végtelen tizedes-jegybõl álló szám, tehát a ×kiszámítása is végtelen sokáig tartana, mégis véges lépésben meg tudjuk mondani, hogy ez pontosan 2! Hiszen a így lett definiálva!
Ez megint példa a metafizikai tudásra. Az agy képes nyalábolni olyan dolgokat, amik végtelen sok információt tartalmaznak! Mint látni fogjuk, a nyalábolás a Kvadromatika egyik fontos kulcsfogalma! A (gyakorlatilag) végtelen információt tartalmazó dologra példa a ]2. (Hasztella Donna, azaz Nyolccsillag Kettõ) Ez egy elképzelhetetlenül nagy szám.
A következõképpen kell "kiszámítani": jelölje (n) az nⁿ számot!
Így pl. (4)= 4⁴ =256.
(1,m) pedig jelentse ezt: (m^m ) = m^m az m^m -ediken! Ezt így is jelölik: (m^m )^( m^m ) .
(2,m) jelentése ez: (1,1,1 . . .1,m), ahol éppen m db. 1 van.
(1,1,1 . . . 1,m) =(1,1 . . . 1, mm ) ahol már csak m-1 db. 1 van, és így tovább, az egyeseket úgy fogyasztom el, hogy az utolsó számot mindig önmagára emelem!
Végül (n,m) = (n-1, n-1, . . . n-1, m), ahol m db. n-1 van.
Az utolsó n-1-bõl m db. n-2 lesz, majd az utolsó n-2-bõl m db. n-3 , egész addig, amíg végül 1-eseket nem kapunk. Ezeket a már ismert módon fogyasztjuk el, úgy hogy az utolsó m számból mindig mm lesz. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg végül egy csupasz, zárójelek nélküli számot nem kapunk. Ez az (n,m) értéke. Már a legkisebb számokból is kolosszális számok kerekednek ezzel a módszerrel!

Pl. számítsuk ki (2,2)-t!

(2,2)=(1,1,2)=(1, 2² )=(1,4)=( 4⁴ )=(256)= 256²⁵⁶ . Hát ez már maga jó nagy, de még le tudtuk írni! (3,2) már egy világegyetemmel nagyobb! (3,2)=(2,2,2)=(2,1,1,2)=(2,1,4)=
=(2,256)=(1,1,1 . . .1,256), 256 db. egyessel! Ez azt jelenti, hogy az utolsó helyen álló számot 257-szer emeljük önmagára! (256-szor a zárójelen belül, és egyszer a zárójel eltüntetése miatt) Világos, hogy ezt a számot már nem tudjuk leírni, atomnyi számjegyek esetén is betöltené a világegyetemet! De még ez is piciny szám a ]2-höz képest!

Lépjünk tovább! ³n jelentse ezt: (n,n,n . . . n), ahol épp n db. n van.
Így ³3=(3,3,3). ³2=(2,2)= 256²⁵⁶ . Yn = ³³³. . . ³n , ahol n db. ³ van.
Így Y2=³³2=³(2,2) = ³256²⁵⁶ = (256²⁵⁶ , 256²⁵⁶ , . . . 256²⁵⁶ ) . Végül zn = YY. . . Yn, és ]n = zz. . .zn . Na, végre definiáltuk, mi az a hasztella! Természetesen van ]3, ]4 és ]5 is, sõt a hasztella után további csillagok is definiálhatók. Ha a hasztella a 4-ik csillag, akkor ]_nm jelentse az n-ik csillag m-et! ]_nm = ]_n-1]_n-1 . . . ]_n-1 m , és éppen m db. ]_n-1 van! ³=]₁ , Y=]₂ , z= ]₃ és ]=]₄ .
De az Õrület Szamárlétrájának még itt sincs vége! Jön a ]_]n , ami hasztella-hasztella n! Jelentése: a ]_n n -ik csillag n!
Ezek kifejtéséhez akármennyi Univerzum is kevés lenne! A Végtelen Léggömb meghámozása végtelen ideig tart, hacsak nem veszel benzinesüveget a kezedbe… (A benzinrõl majd késõbb ejtek szót, A Benzintõl Az Istenek Kapujáig c. fejezetben).
A hasztella konstrukció emlékeztet a Hipervalós számokra. A hipervalós számok olyanok, ahol szerepelnek az e és az w is, ahol e=1/w, és mint emlékszünk rá, w=1+1+1+1 . . .
Ezekkel a számokkal bevezettük az x= a₀ + a₁ × w+ a₂ × w² + a₃ × w³ + . . .+ b₁ × e+ b₂ × e² + b₃ × e³ . . .
alakú számokat. Az omegák a végtelen nagy számok, az epszilonok pedig a végtelenül kicsi számok. e+e+e+e . . . =1.

Egy monászba tartoznak azok a számok, amelyek csak egy végtelenül kicsivel különböznek egymástól. Az e² , e³ , e⁴ . . . ultrapici számokból lesznek a monászok monászai. Tehát megint megtaláltuk a bolhák hátán a még picibb bolhákat, és a még picibb bolhák hátán az egészen piciny ultrabolhákat! Na íme a Kvadromatika Bolhapiaca! Van itt minden, a mandelmirminyótól a tûhegyen ülõ Buddhák végtelen seregeiig! Na és ne higgyétek, hogy itt véget is ér a buli! Mert az w , w² , w³ . . . után óhatatlanul jön az w^w , majd az omega az omega az omegaadikon, stb! Tehát pontosan úgy, mint a hasztellánál.

Na most a kérdés az, hogy építhetõ-e olyan gép, amely képes ilyen konstrukciókat is kezelni? Stanislaw Lem ilyen gépet próbál leírni a Lymphater utolsó képlete címû novellájában. Ez a gép ellát az Univerzum határáig, és mindent tud. Egyetlen hibája az, hogy a puszta létével fölöslegessé teszi az emberiséget. Mert ha van egy olyan gép, ami mindent tud, akkor mi a fenének van az a sok okos tudós? A metakritsa elven épített számítógép már megközelítheti ezt a Lem-fater-féle masinát! A metakritsa olyan jószág, amelyben fizikailag realizált kritikus pontok vannak! A kritikus pontban pedig aktuálisan megvalósul a végtelen logikai mélység! És ez az a pont, ahol a rendszer érzékennyé válik a környezeti hatásokra, mert a gép egyszerûen kilát a saját burkából, és észreveszi azt is, hogy mi van körülötte! Lem fater másik novellájában, a Corcoran Professzor-ban itt téved, mert ott olyan leibnizi monászokat ír le, amelyek minden információjukat egy Dobból kapják, és az az õ világuk, minden történés és esemény a Dobban van. Lem szerint az ilyen gépekkel megvalósított élõ individuumok számára nem létezik más világ, csak amit a Dob ad. Ha viszont a gép élõ, ahogy Lem feltételezi, akkor óhatatlanul lesznek benne kritikus pontok, és akkor a gép képes túllátni a saját Dob-világán! Na Dobri Vecser! Mert az ember éppen álmában szokott túllépni saját korlátos, szûk énjén!
Ha csak az atahori álmokat veszem, azt kell feltételeznem, hogy vagy nagyobb zseni vagyok mint Michelangelo és Leonardo, hogy ilyen gyönyörû helyeket teremt az agyam, vagy el kell fogadni a sokkal valószínûbb másik esetet, hogy amit álmomban látok, az valóság! Egy valóságos helyszín, csak nem ebben a világban! El lehet oda utazni, és mások is elutazhatnak oda, és elmesélhetik, mit láttak! És a mesék közös részébõl leszûrhetjük a tapasztalatokat. Tehát a kritikus rendszer érzékeny a környezetre, ellát a Galaxisokig, a csillagok köldökéig, és a kritpont tényleges kiértékelésében az is szerepet játszik, ha az Androméda galaxis egyik bolygóján egy ûregér éppen megrántja a bajszát! És miután bebizonyítottuk, hogy kritikus pontok szükségszerûen fellépnek a rendszerben, az is bizonyosság, hogy a rendszer viselkedése elvileg is megjósolhatatlan! Hisz ez a viselkedés attól is függ, hogy éppen mit jósolunk meg, és akkor íme, a Teremtõ Mágia! Pontosan így mûködnek az önbeteljesítõ jóslatok. Az élõ rendszer szükségszerûen öntükrözõ, kritikus, és így tart kapcsolatot a szellemvilággal. A hiányzó láncszem a test és a lélek világa közt a Metakritsa, illetve a hipervalós számok Leibnizi monász-világa.
Így mûködik a szellemvevõ rádió is, amirõl a Hangok Kutatása c. fejezetben írtam.

Lem szerint a hibák teremtõ erõvel bírnak. Lem megalkotta a hibákon alapuló lételméletet. Errõl a Donda professzor emlékirataiban ír. A DNS-kódok kissé hibásan másolódtak. . . és így jött létre az emberiség! Mert ha az Õslevesbeli amõbák kódjai tökéletesen, hibátlanul másolódtak volna, akkor máig se élne más a Földön, csak amõbák! De mivel a kód hibásan másolódott, létrejöttek az egyre bonyolultabb szervezetek, és végül az ember! Nem más ez, mint félreértés a Feladó és a Vevõ közt!
Mert hiba fordul hiba hátán, az is hibásan másolódik, míg végül a hibákból a Világ Végzete lesz! Ha matematikailag nézzük, a hiba nem más, mint szingularitás, egy pont, ahol a függvény nem értelmezhetõ, vagyis kritikus pont, ahol a távoli világok üzenete beszüremlik a rendszerbe! A hibás gép szigorúan véve nem is gép, mert nem lehet pontosan megjósolni a viselkedését. Ha elakad, ha nem mûködik, rúgj bele, elõ a kalapáccsal és puff! Mindennapi tapasztalat, hogy a számítógép kényes a gazdája lelkiállapotára, néha egyenesen olyan, mintha az ördög bújt volna bele! Az istennek se akar mûködni, de ha egy nyugodt ember ül le elé, rögtön megjavul. Vannak csodák!
Ki is találtuk Motával a Formális Algoritmikus Hibás Automaták Elméletét! FOMALHAUT . . . A jó gép mûködése egyszerû szabályokkal leírható, és ha a felhasz-
náló pontosan követi az utasításokat, akkor nincs baj. Ám ha a gép meghibásodik, egy darabig még mûködik, de járulékos szabályokat kell mellékelni hozzá: ha a kapcsolót jobbra fordítod, nyomd meg egy kicsit, ha meg a mutató remeg, a bal oldalon szorítsd össze, mert kontakthibás. Ha a járulékos szabályokat is követjük, a gép még mindig használható lesz egy darabig. De sajnos a hibák ritkán statikusak, bizony egyre rosszabbak lesznek, és egyre több járulékos szabályt kell mellékelni. Érvénybe lépnek Murphy törvényei! Mert ami elromolhat, az el is romlik! Az anyatermészet pedig a rejtett hibák oldalán áll. Ha megszakadsz, se találod meg! A kontakthiba az egyik legraffináltabb hiba, nem egyéb mint beépített kritikus pont! Mert ha elfüstöl egy kondi, azt látni lehet, könnyû megtalálni és kicserélni. De a kontakthiba nem ilyen! Ütögetni, rázogatni kell, hogy a hiba elõjöjjön, mert szeret elrejtõzni. Akkor jelentkezik, amikor a legnagyobb kárt tudja okozni. Féléves munkánk puff, elszáll, mint a fuvallat!

Ezt az "egyre több szabályt mellékelni" szisztémát követi az is, amikor megpróbáljuk szabatosan megadni a Smullyan-féle NPD-gépünket! Egy lépésben meg se tudjuk adni!
Ezért elõször egyszerû gépeket definiálunk, aztán egyre bonyolultabbakat, amik már egyre többet tudnak az elõírt követelményekbõl. Nekem az az érzésem, hogy ez az eljárás végtelen, tehát sose jutunk el ahhoz a géphez, ami már igazán mindent tud, amit elvárok tõle! Vagyis hogy mindent kiprintel, ami kiprintelhetõ.