Disztributiv Algebrák : DILA, TRILA

  
   

A hagyományos algebrában a disztributivitást mindig két műveletre értelmezték.
Igy pl. a szorzás disztributiv az összeadásra nézve: ( a + b )·c = a·c + b·c.
Másrészt pl. a csoportelméletben egy művelet önmagára nézve asszociatív, azaz ( a·b )·c = a · ( b·c ) .
Mi bevezetünk egy olyan műveletet, amelyik önmagára nézve disztributív, azaz ( a·b )·c = ( a·c )·( b·c ) .
Ezt jobbdisztributivitásnak nevezzük. A baldisztributivitás hasonló: a·( b·c ) = ( a·b )·( a·c ) .
Egy harmadik fajta disztributivitás a keresztdisztributivitás : ( a·b )·( c·d ) = ( a·c )·( b·d ) .

Egy másik tulajdonság az idempotencia: a · a = a .  A hagyományos algebrában ilyen a nulla és az egy.
Végül az algebra Latin, ha az algebra minden eleme a szorzótábla minden sorában és oszlopában
egyszer szerepel. Más szavakkal:        a · x = b · x - ből a = b következik, illetve x · a = x · b - ből a = b
következik, továbbá az a · x = b és az x · a = b egyenleteknek egy és csak egy megoldása van.
A csoport pl. asszociatív és latin. Az asszociativitásból és a latinságból levezethető az egységelem
és az inverz létezése.

Mi bevezetünk egy új típusú algebrát, amely disztributív, idempotens és latin:
ezt DILÁ-nak nevezzük. Vannak véges, végtelen és kontinuum   elemű DILÁk is.

Véges DILÁkra néhány példa:

  1  3  2    1 3 4 2    1 4 2 3     0 4 3 2 1           A D B E C

  3  2  1    4 2 1 3    3 2 4 1     2 1 0 4 3           D B E C A

  2  1  3    2 4 3 1    4 1 3 2     4 3 2 1 0           B E C A D

                3 1 2 4    2 3 1 4     1 0 4 3 2           E C A D B                             

                                               3 2 1 0 4           C A D B E

Ezek a DILÁk jobb- bal- és keresztdisztributívak egyszerre.
Kontinuum elemű DILÁra példa: Vezessük be a valós vagy komplex számokon az a l b = l .a + ( 1 - l) .b műveletet! Ezt a felírásmódot Triádnak nevezzük, és a triád két latin betűje az argumentum, a lambda pedig a műveleti jel, amihez a lambda szám van rendelve. 
Egyszerű számolással igazolható, hogy

( a l b ) l c = ( a l c ) l ( b l c ) ,    
a l ( b l c)  =  ( a l b ) l ( a l c )  és
( a l b ) l ( c l d )  =  ( a l c ) l ( b l d ) 

teljesülnek, de ennél sokkal több is igaz!
( a l b ) m c = ( a m c ) l ( b m c ) ,
a l ( b m c)  =  ( a l b ) m ( a l c )  , 
tehát két különböző művelet egymásra nézve is disztributív, sőt
( a l b ) m ( a n b )  =  a ( l m n ) b
: ezt a műveletek összevonásának nevezzük, itt fontos hogy a két zárójeles kifejezésben ugyanaz az a , b szerepel!
A   l m n  pedig maga is triád, azaz jelentése  m ·l + ( 1 - m ) ·n    .
Geometriai DILÁkat kaphatunk, ha a sík egyeneseit feleltetjük meg a DILA elemeinek, és az egyenesre való
tükrözést rendeljük az egyenesekhez mint műveletet.
Ha a, b, c, d  . . . egyeneseket jelölnek, és A, B, C, D jelöli a megfelelő egyenesre való tükrözést, akkor
a DILA-műveletet így vezetjük be:

a · b = B ( a ) , azaz  a · b nem más, mint az a egyenes b-re vett tükörképe.

Az így definiált struktúra csak az egyik oldali latinságot teljesíti, azaz a · x = b · x esetén a = b,
de pl. ha x merőleges a-ra, akkor x · a = x , ugyanakkor x · x = x, az x mégsem egyezik meg a-val.
Az ilyen struktúrát Féldilának nevezzük.

A legfontosabb Féldila a Körtükrözés, vagy Körinverzió. Ez a leképezés köröket körökbe visz, feltéve
hogy a sík egyeneseit speciális köröknek tekintjük.

Ha a sík köreit A, B, C, . . . jelöli, akkor A . B jelölje az A kör B körre való tükörképét!
Ez a művelet a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1.    A · A = A , tehát a kör önmagára vett tükörképe önmaga.
2.  ( A · B ) · B = A , tehát a tükörkép tükörképe az eredeti kör.
3.  ( A · B ) · C = ( A · C ) · ( B · C ) , ez a disztributivitás.

Ha az A kör a B körön kívül van, akkor az A · B kör a B körön belül van .

Most a fenti 3 szabály figyelembevételével számoljuk ki, melyik kör lesz az A · ( B · C ) ?  Legyen az A, B, C három egymást nem metsző kör, egyik sincs a másik belsejében.
Ekkor az A · B a B belsejében van, az A · ( B · C ) pedig a C belsejében levő B · C kis kör belsejében van. De pontosan hol?
Nos, A · ( B · C ) = ( ( A · C ) · C ) · ( B · C ) , a 2. szabály figyelembevételével, ez pedig  = ( ( A · C ) · B ) · C , a 3. szabály szerint. Ezt röviden így írhatjuk:
ACBC . Ehhez hasonlóan, ha a három kört vég nélkül tükrözgetjük egymásban, akkor az így nyert kis körök mindegyikét megszámozhatjuk az A, B, C betűkből álló sorozattal, ahol az egyetlen kikötés hogy ne legyen egymás után két egyforma betű. ( mert ha van, akkor azokat egyszerűen törölhetjük.)

Ez átvezet minket egyik másik témánkhoz, a Fibonacci-számokhoz: hányféleképpen lehet 2, 3, . . . k féle betűből n tagú betűláncot képezni úgy, hogy ne legyen egymás mellett két egyforma.
Vagy: pl. A és B betű van, az A betűk állhatnak egymás mellett, de a B betűk nem.

Végül is mire jó a DILA? Az Univerzum Egyetemes Önegymástükrözésének leírására! A DILA elemeit
egymást tükröző objektumokkal (pl. egyenesekkel, körökkel) kapcsoljuk össze. Ha az A, B, C, . . . betűk
az Univerzum objektumait jelólik, a Y szimbólum pedig az Univerzumot megismerő Tudatot, akkor az
     ( A # B ) > Y = ( A > Y ) #  ( B > Y ) ,
ejtsd áhessbé glab pszí egyenlő áglab pszí hess béglab pszí  képlet a következőt jelenti: ( A # B ) az A és B objektum kapcsolata az Univerzumban. ( A # B ) > Y e kapcsolat tükröződése a  Y tudatban. ( A > Y ) az A objektum tükörképe a tudatban, ( B > Y ) pedig a B objektum tükörképe. ( A > Y ) #  ( B > Y ) a két tükörkép kapcsolata a tudatban.
A képlet ezt mondja: A kapcsolatok tükörképe megegyezik a tükörképek kapcsolatával. Ez más szóval azt jelenti, hogy a tudat adekvátan tükröz. Az anyagi világ tudatai nem ilyenek, de törekednek rá. Ezt a törekvést egy kis módosítással fejezzük ki: ( A # B ) > Y : = ( A > Y ) #  ( B > Y )

Itt a kettőspont-egyenlő így olvasandó: Legyen egyenlő. Ez lényeges különbség! A Mandelbrot-halmaz egyenletében is ez szerepel: Z := Z 2 + C .

Z legyen egyenlő Z négyzet plusz C . Ez nem egy tény fennállását jelenti, miszerint pl. 3 egyenlő 3 a négyzeten mínusz 6 , hanem egy törekvést, egy folyamatot, amely szerint veszem a Z aktuális értékét, négyzetre emelem, hozzáadok C-t, és amit így kapok, azt teszem a Z-be. Ez a konstanciáknak egy magasabb szintjét nyitja meg.
Nemcsak dolgok, tények lehetnek egyenlők, hanem folyamatok, processzek, törekvések is. A törekvés-csírákat szanszkritül

Szamszkáráknak nevezik. Ld. Kaczvinszky: Kelet Világossága. A Kvadromatika egyik célja a Szamszkárák
világának matematikai leírása, ezzel megnyílik az út a Karma megértéséhez, megtaláljuk a karmafaktorokat,
amelyek úgy örökítik át  a karmát, ahogyan a DNS a genetikai tulajdonságokat.

A DILÁ-hoz hasonló matematikai struktúra a TRILA, ahol nem két hanem három elem szorzata van definiálva.

TRILA

A TRILA a DILA olyan kiterjesztése, ahol nem két, hanem három elem szorzata van értelmezve. Ez a TRUP analógja.
A TRUP olyan struktúra, ahol 3 vagy több elem szorzata van értelmezve, érvényes az asszociativitás, és
a szorzótábla latin: minden sorban, keresztsorban és oszlopban minden elem egyszer és csak egyszer
szerepel. A TRUP a Csoport (GROUP) kiterjesztése. A hármas-szorzat ilyen: ABC = D .
A hármas asszociativitás így fest: (ABC)DE = A(BC)DE = AB(CDE) . Az ABC hármasszorzatot triádnak nevezzük,
ez egyetlen kifejezésnek felel meg. Az (ABC)D(EFG) olyan triád, melynek elemek és triádok az elemei.

A TRILA olyan TRUP, melyben a szorzás nem asszociatív, hanem disztributív, illetve a disztributívhoz hasonló
hármas - disztributív, röviden trisztributív:

     AB(CDE) = (ABC)(ABD)(ABE) : bal - trisztributivitás,
     A(BCD)E = (ABE)(ACE)(ADE)  : közép - trisztributivitás, és
     (ABC)DE = (ADE)(BDE)(CDE)  : jobb - trisztributivitás .

Egy TRILÁ-ban ezek egyidejűleg is fennállhatnak, de lehet hogy csak az egyik érvényes. Ha a páros szorzatok is értelmezve vannak, azaz van olyan struktúra, amelyben az AB szorzatok is benne vannak, akkor a TRILA ennek a struktúrának a részstruktúrája, és az ABC triád (AB)C módon értelmezhető. Ha ez a részstruktúra DILA, akkor azt mondjuk hogy a TRILA nem valódi. Ha ilyen beágyazó DILA nincs, akkor a TRILÁ-t valódi TRILÁ-nak nevezzük. Kiegészítés: Beágyazó struktúra általában van, de ez nem mindig DILA .

Tehát a TRILA akkor nemvalódi, ha egy DILÁból lehet származtatni. A véges TRILÁkat táblázattal adhatjuk meg: a 3x3x3-as TRILA 3 táblázat, és az ijk      hármasszorzatot az i-dik táblázat j-edik sorának k-dik eleme adja. 

Legyen i,j,k lehetséges értéke  0,1,2 , és a szorzási szabály ez legyen: ijk = (i+2j+k)mod 3
Ezt úgy kell érteni, hogyha az eredmény nagyobb vagy egyenlő 3-mal, akkor levonunk belőle 3-  at.
Ez a művelet az alábbi TRILÁt adja:
     0 1 2   1 2 0  2 0 1   Itt a baloldali táblázat a 0-ik, a középső az első, a jobboldali a 2-ik.
     2 0 1   0 1 2  1 2 0   Pl. 011 = 0, 021 = 2, így (011)21 = 021 = 2, (021)(121)(121) = 200 = 2.
     1 2 0   2 0 1  0 1 2   A trisztributivitás tehát teljesül.

Végig lehet próbálni. De le is lehet vezetni:
     (abc)de = (a+2b+c)+2d+e = a+2b+c+2d+e, (ade)(bde)(cde)= (a+2d+e)+2(b+2d+e)+(c+2d+e) = a+2b+c+8d+4e,
viszont 8mod3=2, 4mod3=1,

    és ezt behelyettesítve a+2b+c+2d+e lesz az eredmény,ami megegyezik az előzővel.

    0 2 1   Ez a hármas DILA. Itt a szabály: ij = 2(i+j) mod 3.  Képezzük az (ik)j szorza-
    2 1 0   tot: (ik)j = 2(2(i+k)+j) = 4i+4k+2j , 4 mod 3 =1 miatt ez i+2j+k lesz. Tehát a fenti 
    1 0 2   TRILÁt megkaphatjuk egy DILÁból, így az nem valódi.

    0 1  1 0  ,    1 0  0 1   Csak ez a két 2x2x2-es latin struktúra létezik. A baloldali egy
    1 0  0 1  ,    0 1  1 0    nemvalódi kettes TRUP: az { 1, -1 } , ami azért nem valódi, mert előáll ugyanezen elemek 2 elemű csoportjából is. Ugyanakkor viszont ez egy valódi 2x2x2-es TRILA, mert nem létezik olyan 2x2-es DILA, amelyből származtatható lenne. A jobboldali egy valódi TRUP, és ugyanakkor egy valódi TRILA.

Végtelen TRILÁk is származtathatók az alábbi, pentádnak nevezett műveletből:

    albmc = l.a + m.b + (1-l-m).c  .

A pentád 5 szimbóluma egy szintaktikai egységnek tekintendő, a 2 görög és 3 latin betű, amit adott esetben számok, vagy zárójeles kifejezések helyettesíthetnek. Ha a pentád előáll egy triádból (alb)m c alakban, akkor a TRILA nem valódi. A végtelen TRILÁkból modulózással véges TRILÁk készíthetők.  Geometriai TRILÁk kaphatók  pontokból, egyenesekből, körökből, gömbökből, poliéderekből vagy bonyolult felületekből, fraktálokból és Julia-halmazokból, a megfelelően értelmezett műveletek segítségével.

    A lehetőségek kimeríthetetlenek.