BERNOULLI-SZÁMOK

 

  
   

A Bernoulli-számok az analitikus számelmélet nagyon hasznos elemei.
Egy egyszerû, de annál mélyebb trükk segítségével könnyen definiál-hatjuk õket. Egy x szám hatványán az x n = x×x×x×x....x szorzatot értjük, ahol éppen n darab x-et szorzunk össze. Ez a hatvány megszokott jelentése. Mi azonban bevezetjük a szimbólikus hatványozást: eszerint egy A szimbólum hatványain az An = an számsorozatot értjük, ahol az an számok tetszõlegesek lehetnek, nem kell hogy egy rögzített számból kapjuk õket szorozgatással! Itt is érvényesek a hatványozás azonosságai, azaz An × Am = An+m. Fontos kihangsúlyozni, hogy eszerint An × Am jelentése nem an × am , hanem an+m , azaz a sorozat n+m-edik eleme.

Ha x szám, és A az elõbb ismertetett szimbólum, akkor érvényes a következõ azonosság: ( x ×A ) n = xn× An = xn× an ,ahol xn az x n-edik hatványa a megszokott értelemben, an pedig a sorozat n-edik eleme.
( a + b ) n = (n 0)×a0×bn + (n 1)×a1×bn-1 + (n 2)×a2×bn-2 + . . . + (n n)×an×b0 : ez az ismert Binomiális összefüggés.
A Binomiális együtthatókat ( n k ) alakban írtam fel. Ha az összefüggésünk egyik tagja szám, a másik tagja pedig
az A szimbólum, akkor az összefüggés így alakul:
( A + b ) n = (n 0)×A0×bn + (n 1)×A1×bn-1 + (n 2)×A2×bn-2 + . . . + (n n)×An×b0 ,
ami az A szimbólum értelmezésébõl fakadóan a következõ alakot ölti:
( A + b ) n = (n 0)× a0×bn + (n 1)×a1×bn-1 + (n 2)×a2×bn-2 + . . . + (n n)×an×b0 :
Itt bn a b szám megszokott hatványa, az an pedig a sorozat n-ik eleme.

Most már elárulhatjuk, mik is a Bernoulli-számok. Nos, az alábbi rekurziós szabálynak tesznek eleget: B 0 = 1 , és minden n >1 számra ( 1 + B ) n = B n = B n , ahol a B n az n-ik Bernoulli-szám, a B pedig a Bernoulli-számsorozatot megtestesítõ szimbólum. Az n = 1 kivétel, erre ( 1 + B ) 1 = 1 + B1 érvényes.
Ennek megfelelõen ( 1 + B ) 2 = B 2 = 1 + 2×B 1 + B 2 , amibõl B 1 = -1/2 adódik.
( 1 + B ) 3 = B 3 = 1 + 3×B 1 + 3×B 2 + B 3 , amibõl B 2 = 1/6 adódik. Hasonlóan kapjuk, hogy B 3 = 0, B 4 = -1/30, B 5 = 0 , és minden páratlan indexû Bernoulli-szám nulla.

A Bernoulli-számokkal Taylor-sorokat lehet felírni, és végtelen számsorokat lehet felösszegezni.
Pl. x / ( ex - 1 ) = 1 + B1 x + B2 x2 / 2! ...+ Bn xn / n! ...
Hogy lehet ezt kiszámolni? Ezt mutatom most meg.
Legyen f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 . . . + an xn . . . = S an x n . Ekkor
f( B x ) = a0 + a1 B1 x + a2 B2 x2 + a3 B3 x3 . . . + an Bn xn . . . = S an Bn x n
Igy pl. e B x = 1 + B1 x + B2 x2 / 2! . . . + Bn xn / n! . . .
e ( 1 +B ) x = 1 + (1+B)1 x + (1+B)2 x2 / 2! . . . + (1+B)n xn / n! . . .
Felhasználva a Bernoulli-számok definiáló relációját:
e ( 1 +B ) x = 1 + (1+B1) x + B2 x2 / 2! . . . + Bn xn / n! . . . = x + e B x .

Másrészt e ( 1 +B ) x = e x e B x , és így e B x egyszerûen kifejezhetõ:
e B x (e x - 1) = x , azaz e B x = x / (e x - 1) = 1 + B1 x + B2 x2 / 2! . . . + Bn xn / n! . . . ahogy már fentebb megadtuk.

px ctg px = 1 + 2 S x2 / (x2 - n2) = 1 - 2 S x2 / n2 (1 - x2/n2) = cos 2p B x .
Ebbõl az alábbi nagyszerû összefüggés vezethetõ le:
1 - 2x2( 1/12 (1+x2/12+x4/14. .)+1/22(1+x2/22+x4/24..)+1/32(1+x2/32+x4/34..))
= 1 - (2p)2 B2 x2 / 2! + (2p)4 B4 x4 / 4! - (2p)6 B6 x6 / 6! + (2p)8 B8 x8 / 8! . .
= 1 - 2x2 (1/12+1/22+1/32..) - 2x4(1/14+1/24+1/34..) - 2x6(1/16+1/26+1/36..)..
Az együtthatók egyeztetése után:
1/12+1/22+1/32.. = S 1/n2 = (2p)2 B2 / 2!.2 = p2 / 6
1/14+1/24+1/34.. = S 1/n4 = (2p)4 B4 / 4!.2 = p4 / 90
. . . . . . . . . . . . .
1/12n + 1/22n + 1/32n... = S 1/n2n = (2p)2n B2n / 2n!.2 = z (2n)
ahol z (n) a Riemann - féle Zéta - függvény.

Nos, hasonló szépséges dolgokat lehet a Bernoulli-számokkal kiszámolni. Ehhez hasonlóak az En Euler-számok is.